京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2022年8月実施専門科目問題6

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$L^1([0,\infty))$ を $[0,\infty)$ 上の可積分関数全体のなす実 Banach 空間とし， $f\in L^1([0,\infty))$ に対して

\|f\|_1=\int_0^\infty|f(x)|\,dx

とする。 $f\in L^1([0,\infty))$ に対して $H_f:L^1([0,\infty))\to L^1([0,\infty))$ を

(H_fg)(x)=\int_0^\infty f(x+y)g(y)\,dy

と定める。

(1) $\|H_f\|\le\|f\|_1$ を示せ。ここで $\|H_f\|$ は $H_f$ の作用素ノルムである。

(2) $H_f$ はコンパクト作用素であることを示せ。

设 $L^1([0,\infty))$ 为 $[0,\infty)$ 上可积函数全体组成的实 Banach 空间，对 $f\in L^1([0,\infty))$ ，记

\|f\|_1=\int_0^\infty|f(x)|\,dx.

对于 $f\in L^1([0,\infty))$ ，定义 $H_f:L^1([0,\infty))\to L^1([0,\infty))$ 为

(H_fg)(x)=\int_0^\infty f(x+y)g(y)\,dy.

(1) 证明 $\|H_f\|\le\|f\|_1$ 。这里 $\|H_f\|$ 为 $H_f$ 的算子范数。

(2) 证明 $H_f$ 是紧算子。

Tonelli の定理から

\begin{aligned} \|H_fg\|_1 &\le\int_0^\infty|g(y)|\int_0^\infty|f(x+y)|\,dx\,dy\\ &=\int_0^\infty|g(y)|\int_y^\infty|f(s)|\,ds\,dy \le\|f\|_1\|g\|_1. \end{aligned}

この評価は積分がほとんどすべての $x$ で定義されることも示す。よって $\boxed{\|H_f\|\le\|f\|_1}$ 。

まず $f\in C_c([0,\infty))$ とし、 $x\ge R$ なら $f(x)=0$ となる $R>0$ を取る。 $[0,R]$ を長さ $\delta$ 以下の区間 $I_j$ に分割し、 $x_j\in I_j$ を選ぶ。

(K_\delta g)(x)=\sum_j\mathbf1_{I_j}(x)\int_0^R f(x_j+y)g(y)\,dy

は有限階数作用素である。 $f$ の一様連続性による連続度を $\omega_f$ とすると、 $x\in I_j$ では $|f(x+y)-f(x_j+y)|\le\omega_f(\delta)$ 。両作用素の核は $x>R$ または $y>R$ で消えるので

\|(H_f-K_\delta)g\|_1\le R\omega_f(\delta)\|g\|_1.

したがって $H_f$ は有限階数作用素の作用素ノルム極限であり、コンパクトである。

一般の $f\in L^1$ については、 $C_c([0,\infty))$ の稠密性から $\|f-f_m\|_1\to0$ となる $f_m\in C_c([0,\infty))$ を取る。(1) により

\|H_f-H_{f_m}\|=\|H_{f-f_m}\|\le\|f-f_m\|_1\longrightarrow0.

コンパクト作用素全体は作用素ノルムについて閉じているので、 $H_f$ もコンパクトである。