京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2023年度専門科目問題5

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

関数 $f:[0,\infty)\to(-1,\infty)$ は連続であり、

g(x)=\sup_{y\in[x,x+1]}|f(y)-f(x)|\qquad(x\ge0)

とおくとき、

\lim_{x\to\infty}f(x)=0,\qquad \int_0^\infty\{|f(x)|+g(x)\}\,dx<\infty

を満たすと仮定する。このとき、極限

\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^\infty \left\{1+f\left(\frac{k}{n}\right)\right\}^{1/n}

を求めよ。

设连续函数 $f:[0,\infty)\to(-1,\infty)$ 满足 $f(x)\to0$ （ $x\to\infty$ ）。记

g(x)=\sup_{y\in[x,x+1]}|f(y)-f(x)|,

并假设 $\int_0^\infty(|f(x)|+g(x))\,dx<\infty$ 。求

\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^\infty \left\{1+f\left(\frac{k}{n}\right)\right\}^{1/n}.

$f$ の連続性と $f(x)\to0$ により、すべての $x\ge0$ で $1+f(x)\ge a$ となる定数 $a\in(0,1]$ が存在する。 $h(x)=\log(1+f(x))$ とおくと、平均値の定理から

|h(x)|\le\frac{|f(x)|}{a},\qquad |h(y)-h(x)|\le\frac{|f(y)-f(x)|}{a}.

よって $h\in L^1([0,\infty))$ である。各正整数 $n$ に対し、階段関数 $h_n$ を区間 $((k-1)/n,k/n]$ 上で

h_n(x)=h(k/n)\qquad(k=1,2,\ldots)

と定める。 $x\le k/n\le x+1$ だから、ほとんどすべての $x$ で

|h_n(x)-h(x)|\le\frac{g(x)}a, \qquad |h_n(x)|\le\frac{|f(x)|+g(x)}a

を得る。後者の評価より各 $h_n$ は可積分であり、

\frac1n\sum_{k=1}^\infty|h(k/n)| =\int_0^\infty|h_n(x)|\,dx<\infty

となる。したがって、問題の各無限積は正の値に収束し、その対数は $\int_0^\infty h_n(x)\,dx$ である。

また $h$ の連続性から $h_n(x)\to h(x)$ である。差の絶対値は可積分関数 $g/a$ で抑えられるので、優収束定理により

\left|\frac1n\sum_{k=1}^\infty h(k/n)-\int_0^\infty h(x)\,dx\right| \le\int_0^\infty|h_n(x)-h(x)|\,dx\longrightarrow0

を得る。指数関数の連続性より、求める極限は

\boxed{\exp\left(\int_0^\infty\log(1+f(x))\,dx\right)}

である。