跳到主要内容

京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2023年度 基礎科目 問題6

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

R3\mathbb R^3 の部分集合 XX を

X={(x,y,z)∈R3∣x4+y4−z3=1}X=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^4+y^4-z^3=1\}

で定める。

  1. XX は R3\mathbb R^3 の微分可能部分多様体であることを示せ。
  2. r∈Rr\in\mathbb R について Hr={(x,y,z)∈R3∣z=r}H_r=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=r\} とする。X∩HrX\cap H_r が空集合ではない R3\mathbb R^3 の1次元微分可能部分多様体となるような rr の範囲を求めよ。

题目描述​

设 X={(x,y,z)∈R3∣x4+y4−z3=1}X=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^4+y^4-z^3=1\}。

  1. 证明 XX 是 R3\mathbb R^3 的可微子流形。
  2. 对 r∈Rr\in\mathbb R，令 Hr={(x,y,z)∈R3∣z=r}H_r=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid z=r\}。求使 X∩HrX\cap H_r 为非空的一维可微子流形的 rr 的范围。

Kai​

(1)​

F(x,y,z)=x4+y4−z3F(x,y,z)=x^4+y^4-z^3 とおくと

∇F=(4x3,4y3,−3z2)\nabla F=(4x^3,4y^3,-3z^2)

が消えるのは原点だけである。原点は F−1(1)F^{-1}(1) に属さないので、11 は FF の正則値である。従って XX は2次元の微分可能部分多様体である。

(2)​

X∩HrX\cap H_r の方程式は z=rz=r, x4+y4=1+r3x^4+y^4=1+r^3 である。

r<−1r<-1 なら空集合であり、r=−1r=-1 なら1点 {(0,0,−1)}\{(0,0,-1)\} なので1次元ではない。

r>−1r>-1 なら 1+r3>01+r^3>0 である。写像 G(x,y,z)=(x4+y4,z)G(x,y,z)=(x^4+y^4,z) の微分

dG=(4x34y30001)dG=\begin{pmatrix}4x^3&4y^3&0\\0&0&1\end{pmatrix}

は G−1(1+r3,r)G^{-1}(1+r^3,r) 上で階数 22 を持つ。この集合は ((1+r3)1/4,0,r)((1+r^3)^{1/4},0,r) を含み、正則値定理から1次元部分多様体である。従って求める範囲は

r>−1.\boxed{r>-1}.

Reference​

本页目录