京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2023年度基礎科目問題5

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$x_0$ を正の実数とし、

a_m(t)=\frac1{1+(t+1/m)^2}\qquad(t\ge0,\ m\text{ は正の整数})

と定める。このとき常微分方程式の初期値問題

\begin{cases} x_m'(t)=a_m(t)x_m(t)^{1/2},&t\ge0,\\ x_m(0)=x_0 \end{cases}

の解 $x_m:[0,\infty)\to\mathbb R$ は、 $m\to\infty$ のとき、 $[0,\infty)$ 上のある連続関数に一様収束することを示せ。

设 $x_0>0$ ，并定义 $a_m(t)=1/[1+(t+1/m)^2]$ （ $t\ge0$ ， $m$ 为正整数）。证明初值问题

\begin{cases}x_m'(t)=a_m(t)\sqrt{x_m(t)},&t\ge0,\\x_m(0)=x_0\end{cases}

的解在 $m\to\infty$ 时，在整个 $[0,\infty)$ 上一致收敛于某个连续函数。

解は非減少であり $x_m(t)\ge x_0>0$ なので、 $y_m=\sqrt{x_m}$ とおけば $y_m'=a_m/2$ である。従って

y_m(t)=\sqrt{x_0}+\frac12\left(\arctan(t+1/m)-\arctan(1/m)\right), \qquad x_m(t)=y_m(t)^2.

この式は全区間 $[0,\infty)$ 上で初期値問題の解を与える。極限候補を

y(t)=\sqrt{x_0}+\frac12\arctan t,\qquad x(t)=\left(\sqrt{x_0}+\frac12\arctan t\right)^2

とおく。 $|(\arctan)'|\le1$ より、すべての $t\ge0$ に対し

|y_m(t)-y(t)|\le\frac12\left(\frac1m+\frac1m\right)=\frac1m.

また $0<y_m(t),y(t)\le\sqrt{x_0}+\pi/4$ であるから

\sup_{t\ge0}|x_m(t)-x(t)| \le\frac{2\sqrt{x_0}+\pi/2}{m}\longrightarrow0.

よって $x_m$ は連続関数 $x$ に $[0,\infty)$ 上一様収束する。