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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2023年度 基礎科目 問題4

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

f(x)f(x) を x≥1x\ge1 で定義された実数値連続関数とし、lim⁡x→∞f(x)=1\lim_{x\to\infty}f(x)=1 とする。このとき

lim⁡n→∞n∫1∞exp⁡(−n/x)f(x)x2 dx\lim_{n\to\infty}n\int_1^\infty\frac{\exp(-n/x)f(x)}{x^2}\,dx

を求めよ。

题目描述​

设 f(x)f(x) 是 [1,∞)[1,\infty) 上的实值连续函数，且 lim⁡x→∞f(x)=1\lim_{x\to\infty}f(x)=1。求

lim⁡n→∞n∫1∞exp⁡(−n/x)f(x)x2 dx.\lim_{n\to\infty}n\int_1^\infty\frac{\exp(-n/x)f(x)}{x^2}\,dx.

Kai​

ff は連続で無限遠に有限な極限を持つので有界である。M=sup⁡x≥1∣f(x)∣<∞M=\sup_{x\ge1}|f(x)|<\infty とおく。t=n/xt=n/x と変数変換すると

n∫1∞e−n/xf(x)x2 dx=∫0ne−tf(n/t) dt.n\int_1^\infty\frac{e^{-n/x}f(x)}{x^2}\,dx =\int_0^ne^{-t}f(n/t)\,dt.

右辺の被積分関数を t>nt>n では 00 として (0,∞)(0,\infty) 全体に拡張する。各 t>0t>0 でこれは e−te^{-t} に収束し、絶対値は可積分関数 Me−tMe^{-t} 以下である。よって優収束定理から、求める極限は

∫0∞e−t dt=1.\boxed{\int_0^\infty e^{-t}\,dt=1}.

Reference​

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