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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2023年度 基礎科目 問題2

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Author​

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

aa を実数とし, 実 2×42 \times 4 行列 A,BA, B を

A=(10aa+10111),   B=(0011−133−a0)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \ \ \ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix}

と定める. これらを用いて, 線形写像 f:R4→R2f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2, g:R4→R2g: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2 を f(x)=Axf(x) = Ax, g(x)=Bx  (x∈R4)g(x) = Bx \ \ (x \in \mathbb{R}^4 ) と定義する. このとき,

dim(Ker(f)∩Ker(g)), dim(Ker(f)+Ker(g))\text{dim}(\text{Ker}(f) \cap \text{Ker}(g)),\ \text{dim}(\text{Ker}(f) + \text{Ker}(g))

を求めよ.

题目描述​

设 aa 为实数，定义两个实 2×42\times4 矩阵

A=(10aa+10111),B=(0011−133−a0).A= \begin{pmatrix} 1&0&a&a+1\\ 0&1&1&1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 0&0&1&1\\ -1&3&3-a&0 \end{pmatrix}.

由此定义线性映射

f:R4→R2,f(x)=Ax,f:\mathbb R^4\to\mathbb R^2,\quad f(x)=Ax,
g:R4→R2,g(x)=Bx.g:\mathbb R^4\to\mathbb R^2,\quad g(x)=Bx.

求

dim⁡(ker⁡f∩ker⁡g),dim⁡(ker⁡f+ker⁡g).\dim\bigl(\ker f\cap\ker g\bigr), \qquad \dim\bigl(\ker f+\ker g\bigr).

Kai​

Ker(f)\mathrm{Ker}(f) を求めるため

(10aa+10111)(αβγδ)=(00)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、

α=−aγ−(a+1)δ,β=−γ−δ\begin{aligned} \alpha &= -a \gamma - (a+1) \delta , \\ \beta &= - \gamma - \delta \end{aligned}

となるので、

u1=(−a−110),  u2=(−(a+1)−101)\begin{aligned} u_1 = \begin{pmatrix} -a \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ u_2 = \begin{pmatrix} -(a+1) \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

は Ker(f)\mathrm{Ker}(f) の基底であることがわかる。

また、 Ker(g)\mathrm{Ker}(g) を求めるため

(0011−133−a0)(αβγδ)=(00)\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、

δ=−γ,α=3β+(3−a)γ\begin{aligned} \delta &= - \gamma , \\ \alpha &= 3 \beta + (3-a) \gamma \end{aligned}

となるので、

v1=(3100),  v2=(3−a01−1)\begin{aligned} v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 3-a \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

は Ker(g)\mathrm{Ker}(g) の基底であることがわかる。

共通核は積み重ねた行列の核である。行基本変形により

(AB)∼(10aa+101110011000a−2)\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&a&a+1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&a-2 \end{pmatrix}

となる。したがって、

dim(Ker(f)∩Ker(g))={0(a≠2),1(a=2),dim(Ker(f)+Ker(g))=2+2−dim(Ker(f)∩Ker(g))={4(a≠2),3(a=2)\begin{aligned} \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) \cap \mathrm{Ker}(g) \right) &=\begin{cases}0&(a\ne2),\\1&(a=2),\end{cases}\\ \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{Ker}(g) \right) &=2+2-\mathrm{dim}\left(\mathrm{Ker}(f)\cap\mathrm{Ker}(g)\right)\\ &=\begin{cases}4&(a\ne2),\\3&(a=2)\end{cases} \end{aligned}

Reference​

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