京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年8月実施 基礎科目 [1] ~[3]

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• Subspace-Sum-and-Intersection-Dimension
• Simultaneous-Diagonalization-of-Commuting-Operators

Author

Miyake

Description

[2]

$a$ を実数とし, 実 $2 \times 4$ 行列 $A, B$ を

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \ \ \ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix}$$

と定める. これらを用いて, 線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2$, $g: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2$ を $f(x) = Ax$, $g(x) = Bx \ \ (x \in \mathbb{R}^4 )$ と定義する. このとき,

$$\text{dim}(\text{Ker}(f) \cap \text{Ker}(g)),\ \text{dim}(\text{Ker}(f) + \text{Ker}(g))$$

を求めよ.

[3]

$V$ を有限次元複素ベクトル空間とし、$S,T : V \rightarrow V$ を対角化可能な線形写像で $ST = TS$ が成り立つものとする． $r \geq 2$ を整数, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ を複素数, $\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in \mathbb{C}$ を相異なる複素数とする. 零ベクトルでない $V$ の元 $v, u_1, u_2, \ldots, u_r$ は

$$v = u_1 + u_2 + \cdots + u_r$$

を満たし, かつ $1 \leq j \leq r$ なるすべての整数 $j$ について $u_j$ は固有値 $\lambda_j$ に属する $S$ の固有ベクトルとする． さらに $v$ は固有値 $\alpha$ に属する $T$ の固有ベクトルであり、$u_1$ は固有値 $\beta$ に属する $T$ の固有ベクトルとする． このとき $\alpha = \beta$ が成り立つことを示せ．

Kai

[2]

$\mathrm{Ker}(f)$ を求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} \alpha &= -a \gamma - (a+1) \delta , \\ \beta &= - \gamma - \delta \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} u_1 = \begin{pmatrix} -a \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ u_2 = \begin{pmatrix} -(a+1) \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は $\mathrm{Ker}(f)$ の基底であることがわかる。

また、 $\mathrm{Ker}(g)$ を求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} \delta &= - \gamma , \\ \alpha &= 3 \beta + (3-a) \gamma \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 3-a \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は $\mathrm{Ker}(g)$ の基底であることがわかる。

そこで、実数 $r,s,t$ について $r u_1 = s v_1 + t v_2$ が成り立つとすると $r=s=t=0$ を得るので、 $u_1 \notin \mathrm{Ker}(g)$ がわかる。

同様に、 $r u_2 = s v_1 + t v_2$ が成り立つとすると $r=s=t=0$ を得るので、 $u_2 \notin \mathrm{Ker}(g)$ もわかる。

よって、

$$\begin{aligned} \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) \cap \mathrm{Ker}(g) \right) &= 0 , \\ \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{Ker}(g) \right) &= 4 \end{aligned}$$

がわかる。

[3]

第三問Video : 院試数学解説（京大2023年度）線形代数：固有ベクトル