京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年8月実施 基礎科目 [1] ~[3]

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• Kyoto-University
• Kernel-and-Image
• Subspace-Sum-and-Intersection-Dimension
• Simultaneous-Diagonalization-of-Commuting-Operators

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

[2]

$a$ を実数とし, 実 $2 \times 4$ 行列 $A, B$ を

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \ \ \ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix}$$

と定める. これらを用いて, 線形写像 $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2$, $g: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2$ を $f(x) = Ax$, $g(x) = Bx \ \ (x \in \mathbb{R}^4 )$ と定義する. このとき,

$$\text{dim}(\text{Ker}(f) \cap \text{Ker}(g)),\ \text{dim}(\text{Ker}(f) + \text{Ker}(g))$$

を求めよ.

[3]

$V$ を有限次元複素ベクトル空間とし、$S,T : V \rightarrow V$ を対角化可能な線形写像で $ST = TS$ が成り立つものとする． $r \geq 2$ を整数, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ を複素数, $\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in \mathbb{C}$ を相異なる複素数とする. 零ベクトルでない $V$ の元 $v, u_1, u_2, \ldots, u_r$ は

$$v = u_1 + u_2 + \cdots + u_r$$

を満たし, かつ $1 \leq j \leq r$ なるすべての整数 $j$ について $u_j$ は固有値 $\lambda_j$ に属する $S$ の固有ベクトルとする． さらに $v$ は固有値 $\alpha$ に属する $T$ の固有ベクトルであり、$u_1$ は固有値 $\beta$ に属する $T$ の固有ベクトルとする． このとき $\alpha = \beta$ が成り立つことを示せ．

题目描述

2. 设 $a$ 为实数，定义两个实 $2\times4$ 矩阵

   $$A= \begin{pmatrix} 1&0&a&a+1\\ 0&1&1&1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 0&0&1&1\\ -1&3&3-a&0 \end{pmatrix}.$$

   由此定义线性映射

   $$f:\mathbb R^4\to\mathbb R^2,\quad f(x)=Ax,$$
   $$g:\mathbb R^4\to\mathbb R^2,\quad g(x)=Bx.$$

   求

   $$\dim\bigl(\ker f\cap\ker g\bigr), \qquad \dim\bigl(\ker f+\ker g\bigr).$$

3. 设 $V$ 为有限维复向量空间，$S,T:V\to V$ 是可对角化且满足 $ST=TS$ 的线性映射。令整数 $r\geq2$，$\alpha,\beta\in\mathbb C$，且 $\lambda_1,\ldots,\lambda_r\in\mathbb C$ 两两不同。非零向量 $v,u_1,\ldots,u_r\in V$ 满足

   $$v=u_1+u_2+\cdots+u_r,$$

   并且对每个 $j=1,\ldots,r$，$u_j$ 都是 $S$ 关于特征值 $\lambda_j$ 的特征向量。进一步，$v$ 是 $T$ 关于特征值 $\alpha$ 的特征向量，$u_1$ 是 $T$ 关于特征值 $\beta$ 的特征向量。证明 $\alpha=\beta$。

Kai

[2]

$\mathrm{Ker}(f)$ を求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} \alpha &= -a \gamma - (a+1) \delta , \\ \beta &= - \gamma - \delta \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} u_1 = \begin{pmatrix} -a \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ u_2 = \begin{pmatrix} -(a+1) \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は $\mathrm{Ker}(f)$ の基底であることがわかる。

また、 $\mathrm{Ker}(g)$ を求めるため

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、

$$\begin{aligned} \delta &= - \gamma , \\ \alpha &= 3 \beta + (3-a) \gamma \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 3-a \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

は $\mathrm{Ker}(g)$ の基底であることがわかる。

共通核は積み重ねた行列の核である。行基本変形により

$$\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&0&a&a+1\\ 0&1&1&1\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&a-2 \end{pmatrix}$$

となる。したがって、

$$\begin{aligned} \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) \cap \mathrm{Ker}(g) \right) &=\begin{cases}0&(a\ne2),\\1&(a=2),\end{cases}\\ \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{Ker}(g) \right) &=2+2-\mathrm{dim}\left(\mathrm{Ker}(f)\cap\mathrm{Ker}(g)\right)\\ &=\begin{cases}4&(a\ne2),\\3&(a=2)\end{cases} \end{aligned}$$

[3]

第三問Video : 院試数学解説（京大2023年度）線形代数：固有ベクトル

$p(\lambda_1)=1$、$p(\lambda_j)=0\ (2\le j\le r)$ を満たす多項式 $p$ を取ると、 $p(S)v=u_1$ である。また $ST=TS$ より $p(S)T=Tp(S)$ なので、

$$Tu_1=Tp(S)v=p(S)Tv=\alpha p(S)v=\alpha u_1.$$

一方、仮定より $Tu_1=\beta u_1$ であり、$u_1\ne0$ だから $\alpha=\beta$ である。