京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年8月実施 基礎科目 [1] ~[3]

Author

Miyake

Description

[2]

を実数とし, 実 行列 を

と定める. これらを用いて, 線形写像 , を , と定義する. このとき,

を求めよ.

[3]

を有限次元複素ベクトル空間とし、 を対角化可能な線形写像で が成り立つものとする． を整数, を複素数, を相異なる複素数とする. 零ベクトルでない の元 は

を満たし, かつ なるすべての整数 について は固有値 に属する の固有ベクトルとする． さらに は固有値 に属する の固有ベクトルであり、 は固有値 に属する の固有ベクトルとする． このとき が成り立つことを示せ．

Kai

[2]

を求めるため

とおくと、

となるので、

は の基底であることがわかる。

また、 を求めるため

とおくと、

となるので、

は の基底であることがわかる。

そこで、実数 について が成り立つとすると を得るので、 がわかる。

同様に、 が成り立つとすると を得るので、 もわかる。

よって、

がわかる。

[3]

第三問Video : 院試数学解説（京大2023年度）線形代数：固有ベクトル