京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2022年8月実施基礎科目問題1

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

$\mathbb R^3$ の部分集合 $D$ を

D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid\frac14\le x^2+y^2-2yz+4z^2\le1\right\}

で定める。積分

\iiint_D\log(x^2+y^2-2yz+4z^2)\,dx\,dy\,dz

の値を求めよ。

设 $D=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:\tfrac14\le x^2+y^2-2yz+4z^2\le1\}$ 。求三重积分

\iiint_D\log(x^2+y^2-2yz+4z^2)\,dx\,dy\,dz.

$u=x,\ v=y-z,\ w=\sqrt3z$ と置くと、二次形式は $u^2+v^2+w^2$ となり、 $dx\,dy\,dz=du\,dv\,dw/\sqrt3$ である。変換後の領域は半径 $1/2$ と $1$ の球にはさまれた部分なので、球座標により

\begin{aligned} &\iiint_D\log(x^2+y^2-2yz+4z^2)\,dx\,dy\,dz\\ &\quad=\frac{4\pi}{\sqrt3}\int_{1/2}^1r^2\log r^2\,dr\\ &\quad=\frac{4\pi}{\sqrt3}\left[\frac23r^3\log r-\frac29r^3\right]_{1/2}^1\\ &\quad=\frac{\pi}{9\sqrt3}(3\log2-7). \end{aligned}