京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年度 専門科目 問題8

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• 京都大学
• 椭圆型方程的能量估计
• 格林恒等式

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$n$ を $2$ 以上の整数、$\Omega=\{x\in\mathbb R^n\mid |x|<1\}$ とし、$\overline\Omega$ をその閉包とする。$C^2(\overline\Omega)$ を、$\Omega$ 上 $C^2$ 級かつ2階までの各偏導関数が $\overline\Omega$ 上の連続関数に拡張できる実数値関数全体の集合とする。$f\in C^2(\overline\Omega)$ とする。各 $\varepsilon>0$ に対し、$u_\varepsilon\in C^2(\overline\Omega)$ を方程式

$$\begin{cases}-\varepsilon\Delta u_\varepsilon+u_\varepsilon=f,&x\in\Omega,\\ u_\varepsilon=0,&x\in\partial\Omega \end{cases}$$

の解とする。ただし $\Delta=\sum_{i=1}^n\partial^2/\partial x_i^2$ である。以下の問に答えよ。

(i) $\varepsilon$ に依存しないある $C_1,C_2>0$ が存在して

$$\sqrt\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^2(\Omega)}\le C_1\|f\|_{L^2(\Omega)},\qquad \varepsilon\|\Delta u_\varepsilon\|_{L^2(\Omega)}\le C_2\|f\|_{L^2(\Omega)}$$

が成り立つことを示せ。

(ii) $\lim_{\varepsilon\downarrow0}\|u_\varepsilon-f\|_{L^2(\Omega)}=0$ を示せ。

题目描述

设 $n\ge2$，$\Omega=\{x\in\mathbb R^n\mid |x|<1\}$，$\overline\Omega$ 为其闭包。$C^2(\overline\Omega)$ 表示在 $\Omega$ 内二阶连续可微、且二阶及以下偏导数均可连续延拓到闭包的实值函数。给定 $f\in C^2(\overline\Omega)$，对每个 $\varepsilon>0$，设 $u_\varepsilon\in C^2(\overline\Omega)$ 满足

$$-\varepsilon\Delta u_\varepsilon+u_\varepsilon=f\quad\text{于 }\Omega, \qquad u_\varepsilon=0\quad\text{于 }\partial\Omega, \qquad \Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}.$$

(i) 证明存在与 $\varepsilon$ 无关的正常数 $C_1,C_2$，使

$$\sqrt\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^2}\le C_1\|f\|_{L^2},\qquad \varepsilon\|\Delta u_\varepsilon\|_{L^2}\le C_2\|f\|_{L^2}.$$

(ii) 证明 $\|u_\varepsilon-f\|_{L^2(\Omega)}\to0$（$\varepsilon\downarrow0$）。

Kai

以下、すべてのノルムと内積は $L^2(\Omega)$ のものとする。

(i)

方程式に $u_\varepsilon$ を掛けて積分し、境界条件を用いて部分積分すると

$$\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|_2^2+\|u_\varepsilon\|_2^2 =(f,u_\varepsilon)\le\|f\|_2\|u_\varepsilon\|_2.$$

従って $\|u_\varepsilon\|_2\le\|f\|_2$ であり、平方完成により

$$\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|_2^2 \le\|f\|_2\|u_\varepsilon\|_2-\|u_\varepsilon\|_2^2 \le\frac14\|f\|_2^2.$$

また、方程式に $-\varepsilon\Delta u_\varepsilon$ を掛けて積分すると

$$\varepsilon^2\|\Delta u_\varepsilon\|_2^2 +\varepsilon\|\nabla u_\varepsilon\|_2^2 =-\varepsilon(f,\Delta u_\varepsilon) \le\varepsilon\|f\|_2\|\Delta u_\varepsilon\|_2.$$

よって $\varepsilon\|\Delta u_\varepsilon\|_2\le\|f\|_2$。従って $\boxed{C_1=1/2,\ C_2=1}$ と取れる。

(ii)

任意の $\delta>0$ に対し、$C_c^\infty(\Omega)$ の $L^2(\Omega)$ における稠密性から、$\|f-g\|_2<\delta$ となる $g\in C_c^\infty(\Omega)$ を選ぶ。

$v_\varepsilon=u_\varepsilon-g$ は境界で $0$ であり、

$$-\varepsilon\Delta v_\varepsilon+v_\varepsilon=f-g+\varepsilon\Delta g.$$

(i) と同じエネルギー評価から

$$\|v_\varepsilon\|_2\le\|f-g+\varepsilon\Delta g\|_2 \le\delta+\varepsilon\|\Delta g\|_2.$$

従って $\|u_\varepsilon-f\|_2\le2\delta+\varepsilon\|\Delta g\|_2$。$\varepsilon\downarrow0$ とした後 $\delta\downarrow0$ とすれば結論を得る。

Reference

• 京都大学公式問題（2022年度・専門科目、PDF 6ページ）
• 照合用参考解答（2022年度・専門科目 問題8、PDF 4ページ）