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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年度 専門科目 問題6

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

μ\mu を [0,∞)[0,\infty) 上の Borel 測度とする。ff は [0,∞)[0,\infty) 上の関数で一様連続かつ非負値とし、

∫[0,∞)ef(x) μ(dx)<∞\int_{[0,\infty)}e^{f(x)}\,\mu(dx)<\infty

を満たすと仮定する。このとき、極限

lim⁡n→∞∫[0,∞)(1+∫01/nf(x+t) dt)nμ(dx)\lim_{n\to\infty}\int_{[0,\infty)} \left(1+\int_0^{1/n}f(x+t)\,dt\right)^n\mu(dx)

を求めよ。

题目描述​

设 μ\mu 是 [0,∞)[0,\infty) 上的 Borel 测度，ff 是该区间上的非负一致连续函数，且

∫[0,∞)ef(x) μ(dx)<∞.\int_{[0,\infty)}e^{f(x)}\,\mu(dx)<\infty.

求极限

lim⁡n→∞∫[0,∞)(1+∫01/nf(x+t) dt)nμ(dx).\lim_{n\to\infty}\int_{[0,\infty)} \left(1+\int_0^{1/n}f(x+t)\,dt\right)^n\mu(dx).

Kai​

bn(x)=n∫01/nf(x+t) dtb_n(x)=n\int_0^{1/n}f(x+t)\,dt とおく。ff の連続性から各 x≥0x\ge0 で bn(x)→f(x)b_n(x)\to f(x) であり、

(1+bn(x)n)n⟶ef(x).\left(1+\frac{b_n(x)}n\right)^n\longrightarrow e^{f(x)}.

一様連続性により、ある NN が存在して n≥Nn\ge N, x≥0x\ge0, 0≤t≤1/n0\le t\le1/n ならば f(x+t)≤f(x)+1f(x+t)\le f(x)+1 となる。従って n≥Nn\ge N では、1+u≤eu1+u\le e^u を用いて

0≤(1+bn(x)n)n≤ebn(x)≤e ef(x).0\le\left(1+\frac{b_n(x)}n\right)^n \le e^{b_n(x)}\le e\,e^{f(x)}.

右辺は仮定により μ\mu 可積分である。優収束定理から、求める極限は

∫[0,∞)ef(x) μ(dx).\boxed{\int_{[0,\infty)}e^{f(x)}\,\mu(dx)}.

Reference​

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