京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2022年度基礎科目問題6

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

ユークリッド空間 $\mathbb R^4$ の部分空間 $X$ を

X=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4\mid x^2+y^2+z^2+w^2=1,\ x^3+y^3+z^3+w^3=0\}

で定める。このとき $X$ はコンパクトな微分可能多様体であることを示せ。

设

X=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4\mid x^2+y^2+z^2+w^2=1,\ x^3+y^3+z^3+w^3=0\}.

证明 $X$ 是紧致的可微流形。

$F:\mathbb R^4\to\mathbb R^2$ を

F(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(\sum_{j=1}^4x_j^2,\sum_{j=1}^4x_j^3\right)

とおく。 $X=F^{-1}(1,0)$ 上で $\nabla F_1=2(x_1,x_2,x_3,x_4)\ne0$ である。

もし $dF$ の階数が $2$ 未満ならば、ある $\lambda\in\mathbb R$ が存在して $3x_j^2=2\lambda x_j$ がすべての $j$ で成り立つ。従って非零の座標はすべて同じ値 $c=2\lambda/3$ となる。非零座標の個数を $k\ge1$ とすれば

1=kc^2,\qquad 0=kc^3

となり矛盾する。よって $(1,0)$ は $F$ の正則値であり、正則値定理から $X$ は2次元の微分可能部分多様体である。

さらに $X$ は連続写像 $F$ の閉集合の逆像であり、単位球面に含まれるので閉かつ有界である。従って $X$ はコンパクトである。