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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年度 基礎科目 問題5

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

次の広義積分を求めよ。

∫−∞∞x3sin⁡x(x2+1)2 dx.\int_{-\infty}^\infty\frac{x^3\sin x}{(x^2+1)^2}\,dx.

题目描述​

计算反常积分

∫−∞∞x3sin⁡x(x2+1)2 dx.\int_{-\infty}^\infty\frac{x^3\sin x}{(x^2+1)^2}\,dx.

Kai​

h(x)=x3/(x2+1)2h(x)=x^3/(x^2+1)^2 は x>3x>\sqrt3 で単調減少し、x→∞x\to\infty で 00 に収束する。ディリクレの判定法と偶対称性により、求める広義積分は収束する。

上半平面で

F(z)=z3eiz(z2+1)2F(z)=\frac{z^3e^{iz}}{(z^2+1)^2}

を考える。上半円上の積分はジョルダンの補題により 00 に収束する。上半平面の極は z=iz=i の2位の極だけで、その留数は

Res⁡z=iF=ddzz3eiz(z+i)2∣z=i=14e.\operatorname{Res}_{z=i}F =\left.\frac{d}{dz}\frac{z^3e^{iz}}{(z+i)^2}\right|_{z=i} =\frac1{4e}.

したがって留数定理の虚部を取ると

∫−∞∞x3sin⁡x(x2+1)2 dx=π2e.\boxed{\int_{-\infty}^\infty\frac{x^3\sin x}{(x^2+1)^2}\,dx =\frac{\pi}{2e}}.

Reference​

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