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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年度 基礎科目 問題3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

アーベル群 G=Z/2Z×Z/3Z×Z/3Z×Z/4ZG=\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/4\mathbb Z の部分群 HH を

H={(a,b,0,0)∣a∈Z/2Z, b∈Z/3Z}H=\{(a,b,0,0)\mid a\in\mathbb Z/2\mathbb Z,\ b\in\mathbb Z/3\mathbb Z\}

とするとき、GG の位数 1212 の部分群 KK で G=K+HG=K+H となるものの数を求めよ。ただし K+H={α+β∣α∈K, β∈H}K+H=\{\alpha+\beta\mid\alpha\in K,\ \beta\in H\} である。

题目描述​

设 G=Z/2Z×Z/3Z×Z/3Z×Z/4ZG=\mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/4\mathbb Z，其子群为

H={(a,b,0,0)∣a∈Z/2Z, b∈Z/3Z}.H=\{(a,b,0,0)\mid a\in\mathbb Z/2\mathbb Z,\ b\in\mathbb Z/3\mathbb Z\}.

求 GG 中阶为 1212 且满足 K+H=GK+H=G 的子群 KK 的个数，其中 K+H={α+β∣α∈K, β∈H}K+H=\{\alpha+\beta\mid\alpha\in K,\ \beta\in H\}。

Kai​

L={(0,0,c,d)}L=\{(0,0,c,d)\} とおけば G=H⊕LG=H\oplus L であり、∣G∣=72|G|=72, ∣H∣=6|H|=6, ∣L∣=12|L|=12 である。条件を満たす KK について

72=∣K+H∣=∣K∣∣H∣∣K∩H∣72=|K+H|=\frac{|K||H|}{|K\cap H|}

だから K∩H={0}K\cap H=\{0\}。従って射影 πL:G→L\pi_L:G\to L の KK への制限は同型であり、KK は一意的な準同型 φ:L→H\varphi:L\to H のグラフ

K={(φ(ℓ),ℓ)∣ℓ∈L}K=\{(\varphi(\ell),\ell)\mid\ell\in L\}

で表される。逆に、どの準同型のグラフも条件を満たす。

L≅Z/3Z×Z/4ZL\cong\mathbb Z/3\mathbb Z\times\mathbb Z/4\mathbb Z の二つの生成元の像は独立に選べる。位数 33 の生成元の像は HH の 33 倍が 00 となる元なので 33 通り、位数 44 の生成元の像は 44 倍が 00 となる元なので 22 通りである。したがって求める個数は

3⋅2=6.\boxed{3\cdot2=6}.

Reference​

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