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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年度 基礎科目 問題2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

VV を実ベクトル空間とし、v1,v2,v3,v4v_1,v_2,v_3,v_4 を VV の1次独立なベクトルとする。a∈Ra\in\mathbb R に対し

w1=v1−v2+v3,w2=v1+(a−1)v2+v3−av4,w3=2v1−2v2+(a+2)v3,w4=v1−v2+v3+(a+1)v4\begin{aligned} w_1&=v_1-v_2+v_3,\\ w_2&=v_1+(a-1)v_2+v_3-av_4,\\ w_3&=2v_1-2v_2+(a+2)v_3,\\ w_4&=v_1-v_2+v_3+(a+1)v_4 \end{aligned}

とおく。

  1. w1,w2,w3,w4w_1,w_2,w_3,w_4 が1次独立となるような aa の条件を求めよ。
  2. w1,w2,w3,w4w_1,w_2,w_3,w_4 が1次従属となる aa に対し、これらで生成される部分空間 ⟨w1,w2,w3,w4⟩\langle w_1,w_2,w_3,w_4\rangle の次元を求めよ。

题目描述​

设 v1,v2,v3,v4v_1,v_2,v_3,v_4 是实向量空间 VV 中的线性无关向量。对 a∈Ra\in\mathbb R，定义

w1=v1−v2+v3,w2=v1+(a−1)v2+v3−av4,w3=2v1−2v2+(a+2)v3,w4=v1−v2+v3+(a+1)v4.\begin{aligned} w_1&=v_1-v_2+v_3,&w_2&=v_1+(a-1)v_2+v_3-av_4,\\ w_3&=2v_1-2v_2+(a+2)v_3,&w_4&=v_1-v_2+v_3+(a+1)v_4. \end{aligned}
  1. 求 w1,w2,w3,w4w_1,w_2,w_3,w_4 线性无关的条件。
  2. 在它们线性相关时，求其张成子空间的维数。

Kai​

(1)​

次の列操作は張る空間および1次独立性を変えない。

(w1,w2,w3,w4)⟼(w1,w2−w1,w3−2w1,w4−w1)=(v1−v2+v3, a(v2−v4), av3, (a+1)v4).(w_1,w_2,w_3,w_4)\longmapsto (w_1,w_2-w_1,w_3-2w_1,w_4-w_1) =(v_1-v_2+v_3,\ a(v_2-v_4),\ av_3,\ (a+1)v_4).

基底 (v1,v2,v3,v4)(v_1,v_2,v_3,v_4) に関するこの4列の行列式は a2(a+1)a^2(a+1) である。したがって

a≠0,−1.\boxed{a\ne0,-1}.

(2)​

a=0a=0 では張る空間は ⟨v1−v2+v3,v4⟩\langle v_1-v_2+v_3,v_4\rangle であり、次元は 22 である。

a=−1a=-1 では v1−v2+v3v_1-v_2+v_3, −v2+v4-v_2+v_4, −v3-v_3 が1次独立なので、次元は 33 である。よって

dim⁡⟨w1,w2,w3,w4⟩={2,a=0,3,a=−1.\boxed{\dim\langle w_1,w_2,w_3,w_4\rangle= \begin{cases}2,&a=0,\\3,&a=-1.\end{cases}}

Reference​

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