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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2022年度 基礎科目 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

次の広義積分が収束するような実数 aa の範囲を求めよ。

∬Dy(1+x2+y2−x)2(x2+y2)a dx dy.\iint_D\frac{y}{(1+\sqrt{x^2+y^2}-x)^2(x^2+y^2)^a}\,dx\,dy.

ただし、D={(x,y)∈R2∣x≥0, y≥0, x2+y2≥1}D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x^2+y^2\ge1\} とする。

题目描述​

求使下列反常积分收敛的实数 aa 的范围：

∬Dy(1+x2+y2−x)2(x2+y2)a dx dy,D={(x,y)∈R2∣x≥0, y≥0, x2+y2≥1}.\iint_D\frac{y}{(1+\sqrt{x^2+y^2}-x)^2(x^2+y^2)^a}\,dx\,dy, \qquad D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x^2+y^2\ge1\}.

Kai​

被積分関数は非負である。極座標 x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta を用いると、積分は

∫1∞r2−2a(∫0π/2sin⁡θ(1+r−rcos⁡θ)2 dθ)dr\int_1^\infty r^{2-2a}\left(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin\theta}{(1+r-r\cos\theta)^2}\,d\theta\right)dr

となる。内側で u=1+r−rcos⁡θu=1+r-r\cos\theta とおけば

∫0π/2sin⁡θ(1+r−rcos⁡θ)2 dθ=1r∫11+ru−2 du=11+r.\int_0^{\pi/2}\frac{\sin\theta}{(1+r-r\cos\theta)^2}\,d\theta =\frac1r\int_1^{1+r}u^{-2}\,du=\frac1{1+r}.

したがって、収束条件は ∫1∞r2−2a/(1+r) dr<∞\int_1^\infty r^{2-2a}/(1+r)\,dr<\infty である。r≥1r\ge1 で

12r1−2a≤r2−2a1+r≤r1−2a\frac12r^{1-2a}\le\frac{r^{2-2a}}{1+r}\le r^{1-2a}

だから、求める範囲は

a>1.\boxed{a>1}.

Reference​

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