京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2020年度 専門科目 問題8

标签：

• 京都大学
• 抛物型方程的能量估计
• 一致收敛

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$C^2$ 級関数 $u:[0,1]\times[0,\infty)\to\mathbb R$ は以下を満たすとする。

$$\begin{cases} u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)-u(x,t)+\alpha,&0<x<1,\ t>0,\\ u_x(0,t)=u_x(1,t)=0,&t>0. \end{cases}$$

ここで、$\displaystyle\alpha=\int_0^1u(x,0)\,dx$ とする。

1. 任意の $t\ge0$ に対し、$\displaystyle\int_0^1u(x,t)\,dx=\alpha$ であることを示せ。
2. $\displaystyle E(t)=\int_0^1(u_x(x,t))^2\,dx$ と置くとき、$\displaystyle\lim_{t\to\infty}E(t)=0$ を示せ。
3. $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\max_{x\in[0,1]}|\alpha-u(x,t)|=0$ を示せ。

题目描述

设 $u\in C^2([0,1]\times[0,\infty))$ 为实值函数，满足

$$u_t=u_{xx}-u+\alpha\quad(0<x<1,t>0), \qquad u_x(0,t)=u_x(1,t)=0,$$

其中 $\alpha=\int_0^1u(x,0)\,dx$。

1. 证明所有 $t\ge0$ 都有 $\int_0^1u(x,t)\,dx=\alpha$。
2. 令 $E(t)=\int_0^1u_x(x,t)^2\,dx$，证明 $E(t)\to0$。
3. 证明 $u(\cdot,t)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛到常数 $\alpha$。

Kai

(1)

$m(t)=\int_0^1u(x,t)\,dx$ と置く。方程式と境界条件から、$t>0$ で

$$m'(t)=\int_0^1u_t\,dx =[u_x]_0^1-m(t)+\alpha=-m(t)+\alpha.$$

$m(0)=\alpha$ なので、この常微分方程式の解は $m(t)=\alpha$ である。

(2)

$t>0$ において、部分積分と $u_x(0,t)=u_x(1,t)=0$ より

$$\begin{aligned} E'(t) &=2\int_0^1u_xu_{xt}\,dx =-2\int_0^1u_{xx}u_t\,dx\\ &=-2\int_0^1u_{xx}(u_{xx}-u+\alpha)\,dx\\ &=-2\int_0^1u_{xx}^2\,dx-2\int_0^1u_x^2\,dx \le-2E(t). \end{aligned}$$

ここでは $\int_0^1u_{xx}\,dx=0$ と $\int_0^1u_{xx}u\,dx=-E(t)$ を用いた。したがって $e^{2t}E(t)$ は単調減少であり、$t=0$ での連続性から

$$0\le E(t)\le E(0)e^{-2t}\longrightarrow0.$$

(3)

(1) より、任意の $x\in[0,1]$ に対して

$$\begin{aligned} |u(x,t)-\alpha| &=\left|\int_0^1(u(x,t)-u(y,t))\,dy\right|\\ &\le\int_0^1|u_x(s,t)|\,ds \le\sqrt{E(t)}. \end{aligned}$$

よって

$$\max_{x\in[0,1]}|u(x,t)-\alpha| \le\sqrt{E(0)}e^{-t}\longrightarrow0.$$

Reference

• 京都大学公式問題（2020年度・専門科目、PDF 4ページ）
• 照合用参考解答（2020年度・専門科目 問題8、PDF 6–8ページ）