京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2020年度 専門科目 問題7

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• 京都大学
• 勒贝格控制收敛与单调收敛
• 介值定理

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$\mu$ は区間 $(0,\infty)$ 上の Borel 測度であって、条件

$$\int_{(0,\infty)}\frac1{1+y}\,\mu(dy)<\infty, \qquad \int_{(0,1]}\frac1y\,\mu(dy)=\infty$$

を満たすとし、$[0,\infty)$ 上の関数 $f$ を

$$f(x)=\int_{(0,\infty)}\frac{1-2e^{-x/y}}{e^{-x}+y}\,\mu(dy)$$

で定める。

1. $f:[0,\infty)\to\mathbb R$ は連続であることを示せ。
2. $f(x)=0$ を満たす $x\in(0,\infty)$ が存在することを示せ。

题目描述

设 $(0,\infty)$ 上的 Borel 测度 $\mu$ 满足

$$\int_{(0,\infty)}\frac{\mu(dy)}{1+y}<\infty, \qquad \int_{(0,1]}\frac{\mu(dy)}y=\infty.$$

对 $x\ge0$ 定义

$$f(x)=\int_{(0,\infty)}\frac{1-2e^{-x/y}}{e^{-x}+y}\,\mu(dy).$$

1. 证明 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上连续。
2. 证明存在 $x>0$ 使 $f(x)=0$。

Kai

(1)

任意の $R>0$ を固定する。$0\le x\le R,y>0$ に対して

$$|1-2e^{-x/y}|\le1, \qquad e^{-x}+y\ge e^{-R}(1+y)$$

なので、

$$\left|\frac{1-2e^{-x/y}}{e^{-x}+y}\right| \le\frac{e^R}{1+y}.$$

右辺は仮定より $\mu$ 可積分である。被積分関数は各 $y>0$ について $x$ の連続関数だから、優収束定理により $f$ は $[0,R]$ 上連続である。$R$ は任意なので $[0,\infty)$ 上連続である。

(2)

$\mu$ は零測度でないので、

$$f(0)=-\int_{(0,\infty)}\frac1{1+y}\,\mu(dy)<0.$$

$x\ge1$、$0<y\le1$ なら $1-2e^{-x/y}\ge1-2/e=:c>0$ であり、$y>1$ では被積分関数は $-1/y$ 以上である。よって

$$f(x)\ge c\int_{(0,1]}\frac1{e^{-x}+y}\,\mu(dy) -\int_{(1,\infty)}\frac1y\,\mu(dy).$$

第 $2$ 項は $1/y\le2/(1+y)\ (y>1)$ より有限である。第 $1$ 項は単調収束定理により

$$\int_{(0,1]}\frac1{e^{-x}+y}\,\mu(dy) \longrightarrow\int_{(0,1]}\frac1y\,\mu(dy)=\infty.$$

したがって $f(x)\to+\infty$ であり、ある $b>0$ で $f(b)>0$ となる。(1) と中間値の定理から、$f(x)=0$ を満たす $x\in(0,b)$ が存在する。

Reference

• 京都大学公式問題（2020年度・専門科目、PDF 3ページ）
• 照合用参考解答（2020年度・専門科目 問題7、PDF 4–5ページ）