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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2020年度 基礎科目 問題7

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R が C1C^1 級のとき、極限

lim⁡n→∞(∑k=1nf(kn)−n∫01f(x) dx)\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)-n\int_0^1 f(x)\,dx\right)

を求めよ。

题目描述​

设 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R 为 C1C^1 函数。求

lim⁡n→∞(∑k=1nf(kn)−n∫01f(x) dx).\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)-n\int_0^1 f(x)\,dx\right).

Kai​

括弧内を EnE_n と置き、ak=(k−1)/n,bk=k/na_k=(k-1)/n,b_k=k/n とする。微積分の基本定理と積分順序の交換より、

En=n∑k=1n∫akbk(f(bk)−f(x)) dx=n∑k=1n∫akbk(t−ak)f′(t) dt.\begin{aligned} E_n &=n\sum_{k=1}^n\int_{a_k}^{b_k}\bigl(f(b_k)-f(x)\bigr)\,dx\\ &=n\sum_{k=1}^n\int_{a_k}^{b_k}(t-a_k)f'(t)\,dt. \end{aligned}

f′f' は [0,1][0,1] 上一様連続である。その連続度を

ω(δ)=sup⁡{∣f′(s)−f′(t)∣:s,t∈[0,1], ∣s−t∣≤δ}\omega(\delta)=\sup\{|f'(s)-f'(t)|:s,t\in[0,1],\ |s-t|\le\delta\}

とすると ω(δ)→0 (δ→0+)\omega(\delta)\to0\ (\delta\to0+) であり、

∣En−12n∑k=1nf′(kn)∣≤nω(1/n)∑k=1n∫akbk(t−ak) dt=12ω(1/n)⟶0.\left|E_n-\frac1{2n}\sum_{k=1}^n f'\left(\frac{k}{n}\right)\right| \le n\omega(1/n)\sum_{k=1}^n\int_{a_k}^{b_k}(t-a_k)\,dt =\frac12\omega(1/n)\longrightarrow0.

右端点の Riemann 和の収束から、求める極限は

12∫01f′(x) dx=f(1)−f(0)2.\boxed{\frac12\int_0^1 f'(x)\,dx=\frac{f(1)-f(0)}2}.

Reference​

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