京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2020年度基礎科目問題6

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$2$ 次元球面 $S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ に対し、 $S^2\times S^2$ の部分空間

X=\{(u,v)\in S^2\times S^2\mid u\cdot v=0\}

を考える。ここで $u=(u_1,u_2,u_3),v=(v_1,v_2,v_3)\in\mathbb R^3$ に対して $u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$ とする。このとき $X$ はコンパクトな微分可能多様体であることを示せ。

设 $S^2=\{u\in\mathbb R^3:\|u\|=1\}$ ，令 $X=\{(u,v)\in S^2\times S^2:u\cdot v=0\}$ ，其中 $u\cdot v$ 为通常的欧氏内积。证明 $X$ 是紧致可微流形。

$F:\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ を

F(u,v)=(\|u\|^2,\|v\|^2,u\cdot v)

と定めると、 $F$ は $C^\infty$ 級であり、 $X=F^{-1}(1,1,0)$ である。 $(u,v)\in X$ における微分行列の三つの行ベクトルは

(2u,0),\qquad(0,2v),\qquad(v,u)

である。これらの線形結合が零、すなわち

2au+cv=0,\qquad2bv+cu=0

とする。 $\|u\|=\|v\|=1$ 、 $u\cdot v=0$ を用い、第 $1$ 式と $u,v$ の内積を取ると $a=c=0$ 、第 $2$ 式から $b=0$ を得る。よって $dF$ の階数は $3$ である。

したがって $(1,1,0)$ は正則値であり、正則値定理より $X$ は $6-3=3$ 次元の $C^\infty$ 級部分多様体である。また、 $X$ はコンパクト空間 $S^2\times S^2$ の閉部分集合なのでコンパクトである。