京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2020年度基礎科目問題5

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$\alpha$ は $0<\alpha<1$ を満たす定数とする。このとき広義積分

\int_0^\infty\frac{x^\alpha}{1+x^2}\,dx

を求めよ。

设 $0<\alpha<1$ 。求反常积分 $\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^\alpha}{1+x^2}\,dx$ 。

$x\to0+$ では被積分関数は $O(x^\alpha)$ 、 $x\to\infty$ では $O(x^{\alpha-2})$ なので、仮定より積分は収束する。

$t=x^2$ および $p=(\alpha+1)/2\in(0,1)$ と置くと、

\int_0^\infty\frac{x^\alpha}{1+x^2}\,dx =\frac12\int_0^\infty\frac{t^{p-1}}{1+t}\,dt =\frac12B(p,1-p).

ベータ関数とガンマ関数の関係、および反射公式を用いて

B(p,1-p)=\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin(\pi p)}.

したがって求める値は

\boxed{\frac{\pi}{2\cos(\pi\alpha/2)}}.