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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2020年度 基礎科目 問題4

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

開区間 (0,∞)(0,\infty) 上の実数値連続関数 ff が広義単調減少、つまり 0<x≤y0<x\le y ならば f(x)≥f(y)f(x)\ge f(y) とする。さらに、広義積分 ∫0∞f(x) dx\displaystyle\int_0^\infty f(x)\,dx が収束するとする。

  1. 任意の x∈(0,∞)x\in(0,\infty) に対して f(x)≥0f(x)\ge0 となることを示せ。
  2. lim⁡x→+0xf(x)=lim⁡x→∞xf(x)=0\displaystyle\lim_{x\to+0}xf(x)=\lim_{x\to\infty}xf(x)=0 を示せ。

题目描述​

设连续函数 f:(0,∞)→Rf:(0,\infty)\to\mathbb R 单调不增，且反常积分 ∫0∞f(x) dx\int_0^\infty f(x)\,dx 收敛。

  1. 证明对所有 x>0x>0 都有 f(x)≥0f(x)\ge0。
  2. 证明 lim⁡x→0+xf(x)=lim⁡x→∞xf(x)=0\lim_{x\to0+}xf(x)=\lim_{x\to\infty}xf(x)=0。

Kai​

(1)​

ある a>0a>0 で f(a)<0f(a)<0 とすると、単調性より x≥ax\ge a で f(x)≤f(a)<0f(x)\le f(a)<0 となる。したがって

∫abf(x) dx≤(b−a)f(a)⟶−∞(b→∞),\int_a^b f(x)\,dx\le(b-a)f(a)\longrightarrow-\infty\qquad(b\to\infty),

これは広義積分の収束に反する。よって f(x)≥0f(x)\ge0 である。

(2)​

単調性と (1) より

0≤xf(x)≤∫0xf(t) dt.0\le xf(x)\le\int_0^x f(t)\,dt.

積分が 00 の近傍で収束するため右辺は x→0+x\to0+ で 00 に収束し、xf(x)→0xf(x)\to0 を得る。

同様に

0≤x2f(x)≤∫x/2xf(t) dt≤∫x/2∞f(t) dt⟶0(x→∞).0\le\frac{x}{2}f(x)\le\int_{x/2}^{x}f(t)\,dt \le\int_{x/2}^{\infty}f(t)\,dt\longrightarrow0\qquad(x\to\infty).

よって両方の極限は 00 である。

Reference​

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