京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2020年度基礎科目問題3

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$V,W$ を有限次元複素ベクトル空間、 $f:V\to W$ 、 $g:W\to V$ を線形写像とし、任意の $w\in W$ に対して $f(g(w))=w$ が成り立つものとする。このとき、 $V$ の部分空間 $V_0,V_1$ で、以下の三条件をすべて満たすものが存在することを示せ。

(i) $V=V_0\oplus V_1$ 。

(ii) 任意の $v\in V_0$ に対し、 $g(f(v))=0$ 。

(iii) 任意の $v\in V_1$ に対し、 $g(f(v))=v$ 。

设 $V,W$ 为有限维复向量空间，线性映射 $f:V\to W$ 、 $g:W\to V$ 满足 $f\circ g=\operatorname{id}_W$ 。证明存在子空间 $V_0,V_1\subset V$ ，使得：

(i) $V=V_0\oplus V_1$ ；

(ii) 对 $v\in V_0$ ，有 $g(f(v))=0$ ；

(iii) 对 $v\in V_1$ ，有 $g(f(v))=v$ 。

V_0=\ker f,\qquad V_1=\operatorname{Im}g

と置く。任意の $v\in V$ に対し、

v=\bigl(v-g(f(v))\bigr)+g(f(v))

であり、 $f\circ g=\operatorname{id}_W$ より

f\bigl(v-g(f(v))\bigr)=f(v)-f(g(f(v)))=0.

したがって $V=V_0+V_1$ である。また、 $v\in V_0\cap V_1$ なら $v=g(w)$ と書けて、 $0=f(v)=f(g(w))=w$ だから $v=0$ である。よって条件 (i) の $V=V_0\oplus V_1$ が成り立つ。

$v\in V_0$ なら $g(f(v))=g(0)=0$ なので (ii) が成り立つ。 $v\in V_1$ なら $v=g(w)$ と書けて、

g(f(v))=g(f(g(w)))=g(w)=v

となるので (iii) も成り立つ。