京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2020年度基礎科目問題2

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$a$ を複素数とし、 $3$ 次複素正方行列 $A$ を次のように定める。

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\\1&a-1&a\end{pmatrix}.

このとき、 $A$ の固有値をすべて求めよ。また、各固有値に対する固有空間の次元を求めよ。

设 $a\in\mathbb C$ ， $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\-1&1&0\\1&a-1&a\end{pmatrix}$ 。求 $A$ 的全部特征值，以及每个特征值对应的特征空间维数。

特性多項式は

\det(\lambda I-A) =(\lambda-1)^2(\lambda-a)+(a-\lambda) =\lambda(\lambda-2)(\lambda-a).

したがって固有値は $0,2,a$ である。ただし $a=0$ のとき $0$ 、 $a=2$ のとき $2$ の代数的重複度が $2$ となる。

一方、任意の $\lambda,a$ に対し、 $A-\lambda I$ の第 $1,2$ 行、第 $1,3$ 列からなる小行列の行列式は

\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\-1&0\end{vmatrix}=1.

よって $\lambda$ が固有値なら $\operatorname{rank}(A-\lambda I)=2$ であり、

\boxed{\dim\ker(A-\lambda I)=1\qquad(\lambda\in\{0,2,a\})}.

すなわち、重根の場合も固有空間は $1$ 次元である。実際、各固有値について

\ker(A-\lambda I)=\operatorname{span}_{\mathbb C} \left\{\begin{pmatrix}\lambda-1\\-1\\(\lambda-1)^2\end{pmatrix}\right\}.