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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2020年度 基礎科目 問題1

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

次の積分を計算せよ。

∭Dxyz dx dy dz.\iiint_D xyz\,dx\,dy\,dz.

ただし、D={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2≤1, x≥0, y≥0, z≥0}D=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2\le1,\ x\ge0,\ y\ge0,\ z\ge0\} とする。

题目描述​

设 D={(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2≤1, x,y,z≥0}D=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x^2+y^2+z^2\le1,\ x,y,z\ge0\}。计算 ∭Dxyz dx dy dz\displaystyle\iiint_D xyz\,dx\,dy\,dz。

Kai​

領域の内部で u=x2,v=y2,w=z2u=x^2,v=y^2,w=z^2 と変数変換すると、

xyz dx dy dz=18 du dv dw.xyz\,dx\,dy\,dz=\frac18\,du\,dv\,dw.

変換後の領域は u,v,w≥0, u+v+w≤1u,v,w\ge0,\ u+v+w\le1 である。よって

∭Dxyz dx dy dz=18∫01∫01−u∫01−u−vdw dv du=116∫01(1−u)2 du=148.\begin{aligned} \iiint_D xyz\,dx\,dy\,dz &=\frac18\int_0^1\int_0^{1-u}\int_0^{1-u-v}dw\,dv\,du\\ &=\frac1{16}\int_0^1(1-u)^2\,du\\ &=\boxed{\frac1{48}}. \end{aligned}

Reference​

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