京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2018年8月実施専門科目 [8]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

区間 $[0,1]$ 上の二乗可積分関数 $g$ に関して

\|g\|=\left(\int_0^1|g(x)|^2\,dx\right)^{1/2}

とする。 $C^2$ 級関数 $u:[0,\infty)\times[0,1]\to\mathbb R$ は

\begin{cases} \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}(t,x) =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(t,x), &t>0,\ x\in(0,1),\\ u(t,0)=u(t,1)=0,&t>0 \end{cases}

を満たすとする。 $f(x)=u(0,x)$ と置くとき、以下の問に答えよ。

(1) 次の $V(t)$ は $t\ge0$ によらない定数であることを示せ。

V(t)=\|u(t,\cdot)\|^2 +2\int_0^t\left\|\frac{\partial u}{\partial x}(s,\cdot)\right\|^2\,ds.

(2) $t>0$ を固定し、 $h(x)=u(t,x)$ と置く。任意の $x\in[0,1]$ について次の不等式を示せ。

|h(x)|^2\le2\|h\|\left\|\frac{dh}{dx}\right\|.

(3) 次の不等式が成り立つことを示せ。

\int_0^\infty\left(\sup_{x\in[0,1]}|u(t,x)|^4\right)\,dt \le2\|f\|^4.

记 $\|g\|=(\int_0^1|g(x)|^2\,dx)^{1/2}$ 。设实值 $C^2$ 函数 $u:[0,\infty)\times[0,1]\to\mathbb R$ 满足热方程与齐次 Dirichlet 边界条件：

u_t=u_{xx}\quad(t>0,\ 0<x<1),\qquad u(t,0)=u(t,1)=0\quad(t>0).

令 $f(x)=u(0,x)$ 。

(1) 证明

V(t)=\|u(t,\cdot)\|^2+2\int_0^t\|u_x(s,\cdot)\|^2\,ds

与 $t\ge0$ 无关。

(2) 固定 $t>0$ ，记 $h(x)=u(t,x)$ ，证明对任意 $x\in[0,1]$ ，

|h(x)|^2\le2\|h\|\|h'\|.

(3) 证明

\int_0^\infty\sup_{x\in[0,1]}|u(t,x)|^4\,dt\le2\|f\|^4.

$E(t)=\|u(t,\cdot)\|^2$ 、 $D(t)=\|u_x(t,\cdot)\|^2$ と置く。 $t>0$ で、熱方程式と境界条件を用いて部分積分すると

\begin{aligned} E'(t) &=2\int_0^1u(t,x)u_t(t,x)\,dx\\ &=2\int_0^1u(t,x)u_{xx}(t,x)\,dx\\ &=2[u(t,x)u_x(t,x)]_0^1-2\int_0^1u_x(t,x)^2\,dx\\ &=-2D(t). \end{aligned}

よって $V'(t)=E'(t)+2D(t)=0$ である。 $V$ は $t=0$ でも連続なので、

\boxed{V(t)=V(0)=\|f\|^2\qquad(t\ge0)}.

特に $E(t)\le\|f\|^2$ であり、

\int_0^\infty D(t)\,dt\le\frac12\|f\|^2.

$h(0)=0$ であるから、Cauchy–Schwarz の不等式により

|h(x)|^2 =2\int_0^x h(s)h'(s)\,ds \le2\int_0^1|h(s)h'(s)|\,ds \le\boxed{2\|h\|\|h'\|}.

(2) を二乗し、 $x$ に関する上限を取ると

\sup_{x\in[0,1]}|u(t,x)|^4 \le4E(t)D(t) \le4\|f\|^2D(t).

これを $t$ について積分し、(1) の評価を使えば

\int_0^\infty\sup_{x\in[0,1]}|u(t,x)|^4\,dt \le4\|f\|^2\int_0^\infty D(t)\,dt \le\boxed{2\|f\|^4}.