京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2018年8月実施専門科目 [7]

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$C([0,1])$ を区間 $[0,1]$ 上の連続関数全体のなす複素 Banach 空間、 $L^2([0,1])$ を $[0,1]$ 上の二乗可積分な関数全体のなす複素 Hilbert 空間とする。

$u\in L^2([0,1])$ に対して

(Tu)(t)=\int_0^t u(s)\,ds \qquad(t\in[0,1])

とする。

(1) $T$ を $L^2([0,1])$ から $C([0,1])$ への作用素とみなすとき、 $T$ はコンパクト作用素であることを示せ。

(2) $T$ を $L^2([0,1])$ から $L^2([0,1])$ への作用素とみなす。 $T$ の共役作用素を $T^*$ とするとき、作用素 $T^*T$ の固有値をすべて求めよ。

设 $C([0,1])$ 为复值连续函数组成的 Banach 空间， $L^2([0,1])$ 为复值平方可积函数组成的 Hilbert 空间。定义

(Tu)(t)=\int_0^t u(s)\,ds,\qquad t\in[0,1].

(1) 将 $T$ 视为 $L^2([0,1])\to C([0,1])$ 的算子，证明 $T$ 紧致。

(2) 将 $T$ 视为 $L^2([0,1])\to L^2([0,1])$ 的算子，记其伴随为 $T^*$ ，求 $T^*T$ 的全部特征值。

$\|u\|_2\le1$ とする。Cauchy–Schwarz の不等式により

|(Tu)(t)|\le\sqrt t\,\|u\|_2\le1

であり、 $0\le s\le t\le1$ に対して

|(Tu)(t)-(Tu)(s)| \le\int_s^t|u(r)|\,dr \le\sqrt{t-s}\,\|u\|_2 \le\sqrt{t-s}.

したがって、 $T$ は $L^2$ の単位球を一様有界かつ同程度連続な関数族に写す。Arzelà–Ascoli の定理より、この像は $C([0,1])$ の一様ノルムで相対コンパクトである。よって $T:L^2\to C$ はコンパクト作用素である。

内積を $\langle u,v\rangle=\int_0^1u(t)\overline{v(t)}\,dt$ とする。積分順序を交換すると、

\begin{aligned} \langle Tu,v\rangle &=\int_0^1\int_0^t u(s)\overline{v(t)}\,ds\,dt\\ &=\int_0^1u(s)\overline{\left(\int_s^1v(t)\,dt\right)}\,ds. \end{aligned}

したがって

(T^*v)(t)=\int_t^1v(s)\,ds, \qquad (T^*Tu)(t)=\int_t^1\int_0^s u(r)\,dr\,ds.

$K=T^*T$ と書く。 $Tu=0$ なら、その絶対連続な代表元を微分して $u=0$ を得るので、 $T$ は単射である。このため $u\ne0$ に対して

\langle Ku,u\rangle=\|Tu\|_2^2>0.

よって $K$ の固有値はすべて正であり、 $0$ は固有値ではない。

$Ku=\lambda u$ （ $u\ne0,\lambda>0$ ）とする。 $q=Ku$ は

q'(t)=-(Tu)(t),\qquad q''(t)=-u(t),\qquad q'(0)=0,\quad q(1)=0

を満たす。初め第二式はほとんど至る所で成立するが、 $u=q/\lambda$ が連続となるので $q,u$ は $C^2$ 級になり、

u''+\lambda^{-1}u=0,\qquad u'(0)=0,\quad u(1)=0

が通常の意味で成り立つ。 $\omega=\lambda^{-1/2}>0$ と置けば、 $u'(0)=0$ より $u(t)=c\cos(\omega t)$ であり、 $c\ne0$ と $u(1)=0$ から

\omega=\left(k+\frac12\right)\pi,\qquad k=0,1,2,\ldots.

逆に、これらの $\omega$ について

K(\cos(\omega t)) =\frac{\cos(\omega t)-\cos\omega}{\omega^2} =\frac{\cos(\omega t)}{\omega^2}.

したがって、求める固有値は

\boxed{\lambda_k=\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}, \qquad k=0,1,2,\ldots}.