京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2018年8月実施専門科目 [6]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

区間 $(0,\infty)$ 上の関数列 $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ を

\varphi_n(x)=\int_{1/n}^{n}\left(1+\frac{t}{n}\right)^{-n}t^{x-1}\,dt \qquad(x>0)

により定める。

(1) 任意の $x\in(0,\infty)$ に対して、数列 $\{\varphi_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ は収束することを示せ。

(2) 関数 $\varphi$ を $\varphi(x)=\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)$ （ $x>0$ ）で定める。 $\varphi$ は区間 $(0,\infty)$ 上で微分可能であることを示せ。

定义函数列

\varphi_n(x)=\int_{1/n}^{n}\left(1+\frac{t}{n}\right)^{-n}t^{x-1}\,dt, \qquad x>0.

(1) 证明对每个 $x>0$ ，数列 $\{\varphi_n(x)\}$ 收敛。

(2) 令 $\varphi(x)=\lim_{n\to\infty}\varphi_n(x)$ ，证明 $\varphi$ 在 $(0,\infty)$ 上可微。

$x>0$ を固定し、 $(0,\infty)$ 上で

g_n(t)=\mathbf1_{[1/n,n]}(t) \left(1+\frac tn\right)^{-n}t^{x-1}

と置く。各 $t>0$ に対し $g_n(t)\to e^{-t}t^{x-1}$ である。

$0\le u\le1$ のとき $\log(1+u)\ge u/2$ なので、 $1/n\le t\le n$ では

\left(1+\frac tn\right)^{-n} =e^{-n\log(1+t/n)}\le e^{-t/2}.

したがって全域で $0\le g_n(t)\le e^{-t/2}t^{x-1}$ となる。右辺は、原点付近では $x>0$ により、無限遠では指数減衰により可積分である。優収束定理から

\boxed{\varphi_n(x)\longrightarrow \varphi(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\,dt=\Gamma(x)}.

任意に $x_0>0$ を取り、 $a=x_0/2,\ b=3x_0/2$ と置く。 $x\in[a,b]$ に対し

\left|\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-t}t^{x-1}\bigr)\right| =e^{-t}t^{x-1}|\log t| \le \begin{cases} t^{a-1}|\log t|,&0<t\le1,\\ e^{-t}t^{b-1}\log t,&t\ge1. \end{cases}

この上界は $(0,\infty)$ 上で可積分である。平均値の定理により $x_0$ における差分商も同じ上界で抑えられるので、優収束定理を差分商に適用できる。したがって

\boxed{\varphi'(x_0)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x_0-1}\log t\,dt}.

$x_0>0$ は任意なので、 $\varphi$ は $(0,\infty)$ 上で微分可能である。