京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2019年度基礎科目問題7

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$2$ 以上の整数 $n$ に対し、 $(i,j)$ 成分が $|i-j|$ となる $n$ 次正方行列を $A_n$ とする。すなわち、

A_n=\begin{pmatrix} 0&1&2&\cdots&n-1\\ 1&0&1&\cdots&n-2\\ 2&1&0&\cdots&n-3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n-1&n-2&n-3&\cdots&0 \end{pmatrix}.

$A_n$ の行列式を求めよ。

设 $n\ge2$ ， $A_n$ 是元素为 $(A_n)_{ij}=|i-j|\ (1\le i,j\le n)$ 的矩阵。求 $\det A_n$ 。

対角成分が $1$ 、第 $1$ 下副対角成分が $-1$ 、それ以外が $0$ の行列を $D$ とする。 $\det D=1$ であり、左右からの乗算は隣り合う行・列の差を取る操作に対応する。成分を計算すると

DA_nD^{\mathsf T}= \begin{pmatrix} 0&\boldsymbol 1^{\mathsf T}\\ \boldsymbol 1&-2I_{n-1} \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol 1=(1,\ldots,1)^{\mathsf T}\in\mathbb R^{n-1}.

実際、 $i,j\ge2$ の成分は

|i-j|-|i-1-j|-|i-j+1|+|i-j|=-2\delta_{ij}

であり、第 $1$ 行・列の対角以外の成分は $1$ である。Schur 補行列を用いると

\begin{aligned} \det A_n &=\det(-2I_{n-1})\left(0-\boldsymbol1^{\mathsf T}(-2I_{n-1})^{-1}\boldsymbol1\right)\\ &=(-2)^{n-1}\frac{n-1}{2}\\ &=\boxed{(-1)^{n-1}(n-1)2^{n-2}}. \end{aligned}