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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2018年8月実施 基礎科目 問題6

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

R2\mathbb R^2 上の実数値連続関数 ff についての次の条件 (∗)(*) を考える。

(∗)(*) 任意の正の実数 RR に対して、次の集合は有界である。

{(x,y)∈R2∣∣f(x,y)∣≤R}.\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid |f(x,y)|\le R\}.
  1. 条件 (∗)(*) を満たす連続関数 ff の例を与え、それが (∗)(*) を満たすことを示せ。
  2. 連続関数 ff が条件 (∗)(*) を満たすとき、次のいずれかが成り立つことを示せ。
    • (a) ff は最大値を持つが、最小値は持たない。
    • (b) ff は最小値を持つが、最大値は持たない。

题目描述​

对于 R2\mathbb R^2 上的实值连续函数 ff，考虑下列条件 (∗)(*)。

(∗)(*) 对任意正实数 RR，下列集合有界：

{(x,y)∈R2∣∣f(x,y)∣≤R}.\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid |f(x,y)|\le R\}.

回答下列问题。

(1) 举出满足条件 (∗)(*) 的连续函数 ff 的例子，并证明它满足该条件。

(2) 若连续函数 ff 满足条件 (∗)(*)，证明下列两种情形之一成立。

  • (a) ff 具有最大值，但没有最小值。
  • (b) ff 具有最小值，但没有最大值。

Kai​

(1)​

f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2 とすれば、{∣f∣≤R}\{|f|\le R\} は半径 R\sqrt R の閉円板なので有界である。

(2)​

条件 (∗)(*) は

∣f(p)∣⟶∞(∥p∥⟶∞)|f(p)|\longrightarrow\infty\qquad(\|p\|\longrightarrow\infty)

を意味する。特に、ある r0>0r_0>0 に対し、∥p∥>r0\|p\|>r_0 なら ∣f(p)∣>1|f(p)|>1 である。R2\mathbb R^2 の円板の外側 {p:∥p∥>r0}\{p:\|p\|>r_0\} は連結であり、そこで ff は零にならない。連続性より、この領域では ff の符号が一定である。

外側で正なら、上の極限と合わせて f(p)→+∞f(p)\to+\infty となる。十分大きい r>0r>0 を取れば、∥p∥>r\|p\|>r で f(p)>f(0)+1f(p)>f(0)+1 とできる。閉円板 {∥p∥≤r}\{\|p\|\le r\} 上で ff は最小値を取り、それは平面全体での最小値でもある。一方、ff は上に非有界なので最大値を持たない。これは (b) である。

外側で負なら f(p)→−∞f(p)\to-\infty となり、同じ議論を −f-f に適用すると (a) が成り立つ。

Reference​

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