京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2019年度基礎科目問題5

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$n$ を $2$ 以上の整数、 $A$ を $n$ 次複素正方行列とする。 $A^{n-1}$ は対角化可能でないが、 $A^n$ が対角化可能であるとき、 $A^n=0$ となることを示せ。

设 $n\ge2$ ， $A$ 是 $n$ 阶复矩阵。若 $A^{n-1}$ 不可对角化，而 $A^n$ 可对角化，证明 $A^n=0$ 。

$A$ の Jordan 標準形を考える。固有値 $\lambda\ne0$ に属する大きさ $r\ge2$ の Jordan 細胞 $J_r(\lambda)=\lambda I+N$ があれば、

J_r(\lambda)^n=\lambda^nI+n\lambda^{n-1}N+\cdots

の第 $1$ 上副対角成分は $n\lambda^{n-1}\ne0$ である。この行列の固有値は $\lambda^n$ だけなので、対角化可能なら $\lambda^nI$ でなければならず、矛盾する。したがって非零固有値に属する Jordan 細胞はすべて大きさ $1$ である。

零固有値に属する Jordan 細胞がすべて大きさ $n-1$ 以下なら、その $(n-1)$ 乗はすべて零になる。非零固有値の細胞は大きさ $1$ なので、この場合 $A^{n-1}$ は対角化可能となり、仮定に反する。

よって大きさ $n$ の零固有値の Jordan 細胞が存在する。 $A$ 自身が $n$ 次であるから、その Jordan 標準形は $J_n(0)$ 一つだけであり、

\boxed{A^n=0}.