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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2019年度 基礎科目 問題4

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

ff は R\mathbb R 上の実数値 C1C^1 級関数で、任意の x∈Rx\in\mathbb R に対して f(x+1)=f(x)f(x+1)=f(x) を満たすとする。このとき以下の二条件は同値であることを示せ。

  • (A) 広義積分 ∫1∞1x1+f(x)2 dx\displaystyle\int_1^\infty\frac{1}{x^{1+f(x)^2}}\,dx が収束する。
  • (B) f(x)=0f(x)=0 となる x∈Rx\in\mathbb R が存在しない。

题目描述​

设实值函数 f∈C1(R)f\in C^1(\mathbb R) 满足 f(x+1)=f(x)f(x+1)=f(x)。证明以下两条件等价：

  • (A) 反常积分 ∫1∞x−1−f(x)2 dx\displaystyle\int_1^\infty x^{-1-f(x)^2}\,dx 收敛。
  • (B) ff 在 R\mathbb R 上没有零点。

Kai​

まず (B) を仮定する。連続性と周期性より、

m=min⁡0≤x≤1∣f(x)∣>0.m=\min_{0\le x\le1}|f(x)|>0.

x≥1x\ge1 なら 0<x−1−f(x)2≤x−1−m20<x^{-1-f(x)^2}\le x^{-1-m^2} であり、右辺は [1,∞)[1,\infty) 上可積分だから (A) が成り立つ。

逆に ff が零点をもつとする。周期性より z∈[0,1)z\in[0,1) で f(z)=0f(z)=0 となるものを取れる。また、f′f' も周期的なので M=sup⁡x∈R∣f′(x)∣<∞M=\sup_{x\in\mathbb R}|f'(x)|<\infty であり、平均値の定理より

∣f(n+z+t)∣=∣f(z+t)∣≤M∣t∣(n∈Z)|f(n+z+t)|=|f(z+t)|\le M|t|\qquad(n\in\mathbb Z)

である。十分大きい整数 nn に対して hn=(log⁡(n+2))−1/2<1h_n=(\log(n+2))^{-1/2}<1 と置く。区間 In=[n+z,n+z+hn]I_n=[n+z,n+z+h_n] は互いに交わらず、x∈Inx\in I_n なら

x≤n+2,f(x)2log⁡x≤M2hn2log⁡(n+2)=M2.x\le n+2,\qquad f(x)^2\log x\le M^2h_n^2\log(n+2)=M^2.

したがって

∫Inx−1−f(x)2 dx≥e−M2(n+2)log⁡(n+2).\int_{I_n}x^{-1-f(x)^2}\,dx \ge\frac{e^{-M^2}}{(n+2)\sqrt{\log(n+2)}}.

右辺を nn について加えた級数は積分判定法により発散する。よって (A) は成り立たない。以上により (A) と (B) は同値である。

Reference​

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