京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2019年度基礎科目問題3

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$(x_0,y_0)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ に対して、 $\mathbb R$ 上の連立常微分方程式

\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=-x^2y-y^3,\\ \dfrac{dy}{dt}=x^3+xy^2, \end{cases} \qquad \begin{cases}x(0)=x_0,\\y(0)=y_0\end{cases}

の解 $(x(t),y(t))$ は周期をもつことを示し、最小の周期を求めよ。ただし正の実数 $T$ が周期であるとは、任意の $t\in\mathbb R$ に対して

(x(t+T),y(t+T))=(x(t),y(t))

が成り立つことである。

给定 $(x_0,y_0)\ne(0,0)$ ，考虑初值问题

x'=-x^2y-y^3,\qquad y'=x^3+xy^2, \qquad x(0)=x_0,\quad y(0)=y_0.

证明定义在 $\mathbb R$ 上的解 $(x(t),y(t))$ 是周期解，并求最小正周期。这里 $T>0$ 为周期是指对所有 $t\in\mathbb R$ ，都有 $(x(t+T),y(t+T))=(x(t),y(t))$ 。

微分方程式より

\frac{d}{dt}(x^2+y^2)=2x[-y(x^2+y^2)]+2y[x(x^2+y^2)]=0.

したがって $\rho=x_0^2+y_0^2>0$ と置けば $x^2+y^2=\rho$ であり、方程式は $x'=-\rho y,\ y'=\rho x$ となる。初期条件を満たす解は

\begin{aligned} x(t)&=x_0\cos(\rho t)-y_0\sin(\rho t),\\ y(t)&=x_0\sin(\rho t)+y_0\cos(\rho t). \end{aligned}

この式はすべての実数 $t$ で元の方程式と初期条件を満たす。さらに

x(t)+iy(t)=(x_0+iy_0)e^{i\rho t}

かつ $x_0+iy_0\ne0$ なので、 $T>0$ が周期であるための必要十分条件は $e^{i\rho T}=1$ である。よって最小の周期は

\boxed{T_{\min}=\frac{2\pi}{x_0^2+y_0^2}}.