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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2019年度 基礎科目 問題2

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

複素数 α\alpha に対し、33 次複素正方行列 A(α)A(\alpha) を次のように定める。

A(α)=(α−4α+4−2α+1−22α+1−2α+2−1α−α+2).A(\alpha)=\begin{pmatrix} \alpha-4&\alpha+4&-2\alpha+1\\ -2&2\alpha+1&-2\alpha+2\\ -1&\alpha&-\alpha+2 \end{pmatrix}.
  1. A(α)A(\alpha) の行列式を求めよ。
  2. A(α)A(\alpha) の階数を求めよ。

题目描述​

对复数 α\alpha，定义矩阵

A(α)=(α−4α+4−2α+1−22α+1−2α+2−1α−α+2).A(\alpha)=\begin{pmatrix} \alpha-4&\alpha+4&-2\alpha+1\\ -2&2\alpha+1&-2\alpha+2\\ -1&\alpha&-\alpha+2 \end{pmatrix}.
  1. 求 A(α)A(\alpha) 的行列式。
  2. 求 A(α)A(\alpha) 的秩。

Kai​

(1)​

第 22 行から第 33 行の 22 倍を引くと、

det⁡A(α)=∣α−4α+4−2α+101−2−1α−α+2∣=(α−4)(α+2)+2(α+4)−2α+1=(α−1)2.\begin{aligned} \det A(\alpha) &=\begin{vmatrix} \alpha-4&\alpha+4&-2\alpha+1\\ 0&1&-2\\ -1&\alpha&-\alpha+2 \end{vmatrix}\\ &=(\alpha-4)(\alpha+2)+2(\alpha+4)-2\alpha+1\\ &=\boxed{(\alpha-1)^2}. \end{aligned}

(2)​

α≠1\alpha\ne1 なら行列式が零でないから階数は 33 である。一方、任意の α\alpha に対し、

∣−22α+1−1α∣=1\begin{vmatrix}-2&2\alpha+1\\-1&\alpha\end{vmatrix}=1

なので階数は少なくとも 22 である。よって

rank⁡A(α)={3α≠1,2α=1.\boxed{\operatorname{rank}A(\alpha)= \begin{cases}3&\alpha\ne1,\\2&\alpha=1.\end{cases}}

Reference​

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