京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2019年度基礎科目問題1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$\alpha$ は $0<\alpha\le\pi/2$ を満たす定数とする。このとき広義積分

\iint_D e^{-(x^2+2xy\cos\alpha+y^2)}\,dx\,dy

を計算せよ。ただし、 $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x\ge0,\ y\ge0\}$ とする。

设常数 $0<\alpha\le\pi/2$ ， $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x\ge0,\ y\ge0\}$ 。计算反常二重积分

\iint_D e^{-(x^2+2xy\cos\alpha+y^2)}\,dx\,dy.

$u=x+y\cos\alpha$ 、 $v=y\sin\alpha$ と置くと、

x^2+2xy\cos\alpha+y^2=u^2+v^2, \qquad dx\,dy=\frac{du\,dv}{\sin\alpha}.

$x\ge0,y\ge0$ の像は、正の $u$ 軸と方向ベクトル $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ の半直線に挟まれた角 $\alpha$ の扇形である。したがって $u=r\cos\theta,v=r\sin\theta$ と置けば、

\begin{aligned} \iint_D e^{-(x^2+2xy\cos\alpha+y^2)}\,dx\,dy &=\frac1{\sin\alpha}\int_0^\alpha\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta\\ &=\boxed{\frac{\alpha}{2\sin\alpha}}. \end{aligned}