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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2017年8月実施 専門科目 問題8

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

C2C^2 級関数 u:R×[0,∞)→Ru:\mathbb R\times[0,\infty)\to\mathbb R は

∂u∂t(x,t)−∂2u∂x2(x,t)=0,(x,t)∈R×(0,∞),u(x+2π,t)=u(x,t),(x,t)∈R×[0,∞)\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t)&=0, && (x,t)\in\mathbb R\times(0,\infty),\\ u(x+2\pi,t)&=u(x,t), && (x,t)\in\mathbb R\times[0,\infty) \end{aligned}

を満たすとする。この uu に対して次の命題(P)を考える。

(P) 任意の t>0t>0 に対し，xx の関数 u(x,t)u(x,t) は C\mathbb C 上の正則関数に拡張できる。

このとき，以下の問に答えよ。

(1) u(x,0)=sin⁡xu(x,0)=\sin x のとき，(P)が成り立つことを示せ。

(2) 一般に，(P)が成り立つことを示せ。

题目描述​

假设 C2C^2 函数 u:R×[0,∞)→Ru:\mathbb R\times[0,\infty)\to\mathbb R 满足

∂u∂t(x,t)−∂2u∂x2(x,t)=0,(x,t)∈R×(0,∞),u(x+2π,t)=u(x,t),(x,t)∈R×[0,∞).\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t)&=0, && (x,t)\in\mathbb R\times(0,\infty),\\ u(x+2\pi,t)&=u(x,t), && (x,t)\in\mathbb R\times[0,\infty). \end{aligned}

对于该函数 uu，考虑下列命题(P)。

(P) 对任意 t>0t>0，关于 xx 的函数 u(x,t)u(x,t) 都能延拓为 C\mathbb C 上的全纯函数。

回答下列问题。

(1) 当 u(x,0)=sin⁡xu(x,0)=\sin x 时，证明(P)成立。

(2) 证明一般情况下(P)成立。

Kai​

(1)​

u(x,t)=e−tsin⁡xu(x,t)=e^{-t}\sin x が方程式と初期値を満たすことを直接確認できる。周期解の一意性は、初期値ゼロの差 vv に対して

ddt∫02πv(x,t)2 dx=−2∫02πvx(x,t)2 dx≤0\frac d{dt}\int_0^{2\pi}v(x,t)^2\,dx=-2\int_0^{2\pi}v_x(x,t)^2\,dx\le0

を用いれば従う。よって e−tsin⁡ze^{-t}\sin z が求める整関数への拡張である。

(2)​

cn=(2π)−1∫02πu(x,0)e−inx dxc_n=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}u(x,0)e^{-inx}\,dx とおく。uu の Fourier 係数は、方程式と周期境界条件により u^n′(t)=−n2u^n(t)\widehat u_n'(t)=-n^2\widehat u_n(t) を満たすから

u^n(t)=cne−n2t.\widehat u_n(t)=c_ne^{-n^2t}.

t>0t>0 を固定して

Ut(z)=∑n∈Zcne−n2teinzU_t(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_ne^{-n^2t}e^{inz}

と定める。∣cn∣≤∥u(⋅,0)∥∞=:M|c_n|\le\|u(\cdot,0)\|_\infty=:M であり、∣Im⁡z∣≤R|\operatorname{Im}z|\le R では各項の絶対値は Me−n2t+∣n∣RMe^{-n^2t+|n|R} 以下である。この優級数は収束するので、上の級数は C\mathbb C の各コンパクト集合上一様収束する。したがって UtU_t は整関数である。

実軸上の UtU_t と u(⋅,t)u(\cdot,t) はすべての Fourier 係数が等しく、ともに連続であるから一致する。これで (P) が示された。

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