京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2018年度 専門科目 問題8

标签：

• 京都大学
• 傅里叶级数
• 解析延拓

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

$C^2$ 級関数 $u:\mathbb R\times[0,\infty)\to\mathbb R$ が

$$u_t-u_{xx}=0\quad(t>0),\qquad u(x+2\pi,t)=u(x,t)$$

を満たすとする。「任意の $t>0$ に対し、$x\mapsto u(x,t)$ は $\mathbb C$ 上の正則関数に拡張できる」という命題を (P) とする。

(1) $u(x,0)=\sin x$ の場合に (P) を示せ。

(2) 一般の場合に (P) を示せ。

题目描述

$C^2$ 函数 $u(x,t)$ 满足热方程 $u_t=u_{xx}$，且关于 $x$ 为 $2\pi$ 周期。证明对每个 $t>0$，函数 $u(\cdot,t)$ 都能延拓为整函数：(1) 初值为 $\sin x$；(2) 一般初值。

Kai

(1)

$u(x,t)=e^{-t}\sin x$ が方程式と初期値を満たすことを直接確認できる。周期解の一意性は、初期値ゼロの差 $v$ に対して

$$\frac d{dt}\int_0^{2\pi}v(x,t)^2\,dx=-2\int_0^{2\pi}v_x(x,t)^2\,dx\le0$$

を用いれば従う。よって $e^{-t}\sin z$ が求める整関数への拡張である。

(2)

$c_n=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}u(x,0)e^{-inx}\,dx$ とおく。$u$ の Fourier 係数は、方程式と周期境界条件により $\widehat u_n'(t)=-n^2\widehat u_n(t)$ を満たすから

$$\widehat u_n(t)=c_ne^{-n^2t}.$$

$t>0$ を固定して

$$U_t(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_ne^{-n^2t}e^{inz}$$

と定める。$|c_n|\le\|u(\cdot,0)\|_\infty=:M$ であり、$|\operatorname{Im}z|\le R$ では各項の絶対値は $Me^{-n^2t+|n|R}$ 以下である。この優級数は収束するので、上の級数は $\mathbb C$ の各コンパクト集合上一様収束する。したがって $U_t$ は整関数である。

実軸上の $U_t$ と $u(\cdot,t)$ はすべての Fourier 係数が等しく、ともに連続であるから一致する。これで (P) が示された。

Reference

• 京都大学公式問題（2018年度・専門科目、PDF 3ページ）
• 照合用参考解答（2018年度・専門科目 問題8、PDF 4–6ページ）