京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2017年8月実施専門科目問題6

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$\mu,\nu$ を $[0,\infty)$ 上の有限Borel測度とする。また，正の奇数全体を $\mathbb N_{\mathrm{odd}}$ とする。このとき，すべての $n\in\mathbb N_{\mathrm{odd}}$ に対し

\int_{[0,\infty)}e^{-nx}\,d\mu(x) =\int_{[0,\infty)}e^{-nx}\,d\nu(x)

が成り立てば，2つの測度 $\mu,\nu$ は一致することを示せ。

设 $\mu,\nu$ 为 $[0,\infty)$ 上的有限Borel测度，并记全体正奇数为 $\mathbb N_{\mathrm{odd}}$ 。证明：若对每个 $n\in\mathbb N_{\mathrm{odd}}$ 都有

\int_{[0,\infty)}e^{-nx}\,d\mu(x) =\int_{[0,\infty)}e^{-nx}\,d\nu(x),

则两个测度 $\mu,\nu$ 相同。

$[0,1]$ 上の有限測度 $\alpha,\beta$ を

\begin{gathered} \alpha(E)=\int_{[0,\infty)}\mathbf1_E(e^{-2x})e^{-x}\,d\mu(x),\\ \beta(E)=\int_{[0,\infty)}\mathbf1_E(e^{-2x})e^{-x}\,d\nu(x) \end{gathered}

で定める。仮定より、任意の整数 $k\ge0$ に対して

\begin{gathered} \int_0^1s^k\,d\alpha(s)=\int e^{-(2k+1)x}\,d\mu(x)\\ =\int e^{-(2k+1)x}\,d\nu(x)\\ =\int_0^1s^k\,d\beta(s). \end{gathered}

よって多項式の積分は一致する。Weierstrass の近似定理と測度の有限性により、すべての $h\in C([0,1])$ について $\int h\,d\alpha=\int h\,d\beta$ 。したがって有限 Borel 測度の一意性から $\alpha=\beta$ である。

任意の Borel 集合 $A\subset[0,\infty)$ について、変換 $s=e^{-2x}$ と非負関数の積分公式から

\mu(A)=\int_{(0,1]}\mathbf1_A\!\left(-\tfrac12\log s\right)s^{-1/2}\,d\alpha(s).

同じ公式が $\nu,\beta$ にも成り立つので、 $\mu(A)=\nu(A)$ 。ゆえに $\boxed{\mu=\nu}$ 。