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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2017年8月実施 基礎科目 [8]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

(X,≤)(X,\le) を半順序集合とする。a<ba<b であるような a,b∈Xa,b\in X に対し、a<c<ba<c<b となる c∈Xc\in X が存在しないとき、a≺ba\prec b と書くことにする。(X,≤)(X,\le) が次の三条件を満たすとする。

(A) 任意の a,b,c∈Xa,b,c\in X について、a≺ba\prec b かつ a≺ca\prec c ならば、{b,c}\{b,c\} は上界を持つ。

(B) a<ba<b かつ a<ca<c を満たし、さらに {b,c}\{b,c\} が上界を持たないような a,b,c∈Xa,b,c\in X が存在する。

(C) a<ba<b ならば、ある c∈Xc\in X で a≺ca\prec c かつ c≤bc\le b となるものが存在する。

このとき、XX の中に無限上昇列 a1<a2<⋯a_1<a_2<\cdots が存在することを示せ。

题目描述​

设 (X,≤)(X,\le) 为偏序集。当 a<ba<b 且不存在 a<c<ba<c<b 的元素 cc 时，记 a≺ba\prec b。假设：

(A) 若 a≺ba\prec b 且 a≺ca\prec c，则 {b,c}\{b,c\} 存在共同上界。

(B) 存在 a<ba<b、a<ca<c，使 {b,c}\{b,c\} 没有共同上界。

(C) 只要 a<ba<b，就存在 cc 满足 a≺c≤ba\prec c\le b。

证明 XX 中存在无限严格递增链 a1<a2<⋯a_1<a_2<\cdots。

Kai​

各 a∈Xa\in X について Ua={x∈X∣a≤x}U_a=\{x\in X\mid a\le x\} と置き、

S={a∈X∣Ua の中に、共通の上界を持たない二元が存在する}S=\{a\in X\mid U_a\text{ の中に、共通の上界を持たない二元が存在する}\}

と定める。(B) より S≠∅S\ne\varnothing である。

任意の a∈Sa\in S を取り、共通の上界を持たない b,c∈Uab,c\in U_a を選ぶ。このとき b,cb,c のいずれも aa とは等しくない。(C) により

a≺u≤b,a≺v≤ca\prec u\le b,\qquad a\prec v\le c

となる u,vu,v が存在する。(A) より、u,vu,v の共通の上界 ww が存在する。

ここで u,v∉Su,v\notin S と仮定する。b,w∈Uub,w\in U_u であるから、u∉Su\notin S により b,wb,w の共通の上界 dd が存在する。さらに d≥w≥vd\ge w\ge v なので c,d∈Uvc,d\in U_v であり、v∉Sv\notin S により c,dc,d の共通の上界 ee が存在する。すると

e≥d≥b,e≥ce\ge d\ge b,\qquad e\ge c

となり、b,cb,c の選び方に矛盾する。したがって u,vu,v の少なくとも一方は SS に属する。

以上により、任意の a∈Sa\in S に対して a≺a′a\prec a' を満たす a′∈Sa'\in S が存在する。a1∈Sa_1\in S を一つ取り、これを繰り返して aj+1∈Sa_{j+1}\in S を aj≺aj+1a_j\prec a_{j+1} となるように選べば、

a1<a2<a3<⋯\boxed{a_1<a_2<a_3<\cdots}

という無限上昇列が得られる。

Reference​

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