京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2017年8月実施基礎科目 [7]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$A$ を実正方行列、 $k$ を正の整数とし、

\operatorname{rk}(A^{k+1})=\operatorname{rk}(A^k)

が成り立つとする。このとき、任意の整数 $m\ge k$ に対し、

\operatorname{rk}(A^m)=\operatorname{rk}(A^k)

であることを証明せよ。ここで、行列 $X$ に対し $\operatorname{rk}(X)$ は $X$ の階数を表す。

设 $A$ 为实方阵， $k$ 为正整数，且 $\operatorname{rank}(A^{k+1})=\operatorname{rank}(A^k)$ 。证明对任意整数 $m\ge k$ ，都有

\operatorname{rank}(A^m)=\operatorname{rank}(A^k).

$A$ を $\mathbb R^n$ 上の線形写像とみなすと、

\operatorname{Im}(A^{k+1})\subset\operatorname{Im}(A^k)

である。仮定により両空間の次元は等しいので、

\operatorname{Im}(A^{k+1})=\operatorname{Im}(A^k).

この等式の両辺に $A^{m-k}$ を作用させれば、 $m\ge k$ に対して

\operatorname{Im}(A^{m+1})=\operatorname{Im}(A^m)

が得られる。したがって帰納的に $\operatorname{Im}(A^m)=\operatorname{Im}(A^k)$ であり、

\boxed{\operatorname{rk}(A^m)=\operatorname{rk}(A^k)\qquad(m\ge k)}

となる。