跳到主要内容

京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2017年8月実施 基礎科目 [6]

标签：

Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

R4\mathbb R^4 の部分空間 MM を

M={(x,y,z,w)∈R4∣x2+y2+z2+w2=1, xy+zw=0}M=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4 \mid x^2+y^2+z^2+w^2=1,\ xy+zw=0\}

で定める。

(1) MM が二次元微分可能多様体になることを示せ。

(2) MM 上の関数 ff を f(x,y,z,w)=xf(x,y,z,w)=x で定めるとき、ff の臨界点をすべて求めよ。ただし、q∈Mq\in M が ff の臨界点であるとは、qq における MM の局所座標 (u,v)(u,v) に関して

∂f∂u(q)=∂f∂v(q)=0\frac{\partial f}{\partial u}(q)=\frac{\partial f}{\partial v}(q)=0

となることである。

题目描述​

设

M={(x,y,z,w)∈R4∣x2+y2+z2+w2=1, xy+zw=0}.M=\{(x,y,z,w)\in\mathbb R^4 \mid x^2+y^2+z^2+w^2=1,\ xy+zw=0\}.

(1) 证明 MM 是二维可微流形。

(2) 求函数 f:M→Rf:M\to\mathbb R，f(x,y,z,w)=xf(x,y,z,w)=x 的全部临界点。这里 q∈Mq\in M 为临界点，是指在 qq 附近的局部坐标 (u,v)(u,v) 下，

∂f∂u(q)=∂f∂v(q)=0.\frac{\partial f}{\partial u}(q)=\frac{\partial f}{\partial v}(q)=0.

Kai​

(1)​

F1=x2+y2+z2+w2,F2=xy+zwF_1=x^2+y^2+z^2+w^2,\qquad F_2=xy+zw

と置く。q=(x,y,z,w)∈Mq=(x,y,z,w)\in M では

∇F1=2(x,y,z,w),∇F2=(y,x,w,z).\nabla F_1=2(x,y,z,w),\qquad \nabla F_2=(y,x,w,z).

これらは

∥∇F1∥2=4,∥∇F2∥2=1,∇F1⋅∇F2=4(xy+zw)=0\|\nabla F_1\|^2=4,\qquad \|\nabla F_2\|^2=1,\qquad \nabla F_1\cdot\nabla F_2=4(xy+zw)=0

を満たすので、一次独立である。したがって (F1,F2):R4→R2(F_1,F_2):\mathbb R^4\to\mathbb R^2 の微分は MM 上で階数 22 を持つ。陰関数定理より M=(F1,F2)−1(1,0)M=(F_1,F_2)^{-1}(1,0) は 4−2=24-2=2 次元微分可能多様体である。

(2)​

臨界点では ∇f=(1,0,0,0)\nabla f=(1,0,0,0) が法空間に属するので、ある実数 λ,μ\lambda,\mu について

(1,0,0,0)=2λ(x,y,z,w)+μ(y,x,w,z).(1,0,0,0)=2\lambda(x,y,z,w)+\mu(y,x,w,z).

両辺と (x,y,z,w)(x,y,z,w)、(y,x,w,z)(y,x,w,z) との内積を取ると、それぞれ 2λ=x2\lambda=x、μ=y\mu=y を得る。よって第一成分から

1=x2+y2.1=x^2+y^2.

これと F1=1F_1=1 より z=w=0z=w=0 である。さらに F2=0F_2=0 より xy=0xy=0 なので、候補は

(1,0,0,0), (−1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,−1,0,0)\boxed{(1,0,0,0),\ (-1,0,0,0),\ (0,1,0,0),\ (0,-1,0,0)}

の四点である。各点で上の法空間の式が λ=x/2, μ=y\lambda=x/2,\ \mu=y により成立するので、これらはすべて臨界点である。

Reference​

本页目录