京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2017年8月実施基礎科目 [5]

标签：

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$p$ を素数とし、 $\mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z$ を位数 $p$ の有限体とする。行列の乗法による群 $G$ を

G=\left\{ \begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix} \ \middle|\ a,b,c\in\mathbb F_p \right\}

で定める。このとき、 $G$ から乗法群 $\mathbb C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}$ への準同型写像の個数を求めよ。

设 $p$ 为素数， $\mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z$ 。对矩阵乘法构成的群

G=\left\{ \begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix} \ \middle|\ a,b,c\in\mathbb F_p \right\},

求从 $G$ 到乘法群 $\mathbb C^\times$ 的群同态的个数。

問題の行列を $g(a,b,c)$ と書くと、

g(a,b,c)g(a',b',c') =g(a+a',\,b+b'+ac',\,c+c')

である。写像

\pi:G\to(\mathbb F_p^2,+), \qquad \pi(g(a,b,c))=(a,c)

は全射準同型で、核は $H=\{g(0,b,0)\mid b\in\mathbb F_p\}$ である。商群 $G/H$ は可換なので、交換子部分群 $[G,G]$ は $H$ に含まれる。

逆に、交換子を $[u,v]=uvu^{-1}v^{-1}$ と定めると、

[g(1,0,0),g(0,0,b)]=g(0,b,0)

であり、 $H\subset[G,G]$ も成り立つ。よって

G/[G,G]\simeq(\mathbb F_p^2,+).

$\mathbb C^\times$ は可換群であるから、任意の準同型 $G\to\mathbb C^\times$ はこの商群を経由する。 $\mathbb F_p^2$ の二つの標準基底の像は、それぞれ $1$ の $p$ 乗根から選べ、独立に $p$ 通りずつある。

具体的には、 $\zeta=e^{2\pi i/p}$ とすると、すべての準同型は

g(a,b,c)\longmapsto \zeta^{ra+sc}, \qquad r,s\in\mathbb F_p

の形であり、相異なる $(r,s)$ は相異なる準同型を定める。したがって個数は $\boxed{p^2}$ である。