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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2017年8月実施 基礎科目 [4]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

閉区間 [0,1][0,1] 上の実数値関数列 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^{\infty} について、各 fnf_n は広義単調増加であるものとする。つまり、0≤x<y≤10\le x<y\le1 なら fn(x)≤fn(y)f_n(x)\le f_n(y) である。この関数列が n→∞n\to\infty で関数 ff に各点収束したとする。

(1) 任意の 0≤x<y≤10\le x<y\le1 に対し、不等式

sup⁡z∈[x,y]∣fn(z)−f(z)∣≤max⁡{∣fn(x)−f(y)∣, ∣fn(y)−f(x)∣}\sup_{z\in[x,y]}|f_n(z)-f(z)| \le\max\{|f_n(x)-f(y)|,\ |f_n(y)-f(x)|\}

を示せ。

(2) 関数 ff が連続であるとき、関数列 {fn}\{f_n\} は ff に [0,1][0,1] 上で一様収束することを示せ。

题目描述​

设实值函数列 fn:[0,1]→Rf_n:[0,1]\to\mathbb R 中每个 fnf_n 都关于自变量单调不减，且 fnf_n 逐点收敛于 ff。

(1) 证明对任意 0≤x<y≤10\le x<y\le1，

sup⁡z∈[x,y]∣fn(z)−f(z)∣≤max⁡{∣fn(x)−f(y)∣, ∣fn(y)−f(x)∣}.\sup_{z\in[x,y]}|f_n(z)-f(z)| \le\max\{|f_n(x)-f(y)|,\ |f_n(y)-f(x)|\}.

(2) 若极限函数 ff 连续，证明 fnf_n 在 [0,1][0,1] 上一致收敛于 ff。

Kai​

(1)​

fn(x)≤fn(y)f_n(x)\le f_n(y) で n→∞n\to\infty とすれば f(x)≤f(y)f(x)\le f(y) となるので、ff も広義単調増加である。したがって z∈[x,y]z\in[x,y] について

fn(x)−f(y)≤fn(z)−f(z)≤fn(y)−f(x).f_n(x)-f(y)\le f_n(z)-f(z)\le f_n(y)-f(x).

実数 u≤v≤wu\le v\le w なら ∣v∣≤max⁡{∣u∣,∣w∣}|v|\le\max\{|u|,|w|\} であるから、上式の絶対値を評価して zz に関する上限を取れば、求める不等式を得る。

(2)​

ε>0\varepsilon>0 とする。ff は [0,1][0,1] 上で一様連続なので、

∣u−v∣≤1m⟹∣f(u)−f(v)∣<ε2|u-v|\le\frac1m\quad\Longrightarrow\quad |f(u)-f(v)|<\frac{\varepsilon}{2}

となる正の整数 mm を取れる。分点 tj=j/mt_j=j/m（0≤j≤m0\le j\le m）は有限個であり、各点収束により、ある NN について

n≥N⟹max⁡0≤j≤m∣fn(tj)−f(tj)∣<ε2.n\ge N\quad\Longrightarrow\quad \max_{0\le j\le m}|f_n(t_j)-f(t_j)|<\frac{\varepsilon}{2}.

このとき、各区間 [tj−1,tj][t_{j-1},t_j] の両端では

∣fn(tj−1)−f(tj)∣≤∣fn(tj−1)−f(tj−1)∣+∣f(tj−1)−f(tj)∣<ε,∣fn(tj)−f(tj−1)∣≤∣fn(tj)−f(tj)∣+∣f(tj)−f(tj−1)∣<ε.\begin{aligned} |f_n(t_{j-1})-f(t_j)| &\le |f_n(t_{j-1})-f(t_{j-1})|+|f(t_{j-1})-f(t_j)|<\varepsilon,\\ |f_n(t_j)-f(t_{j-1})| &\le |f_n(t_j)-f(t_j)|+|f(t_j)-f(t_{j-1})|<\varepsilon. \end{aligned}

(1) を各区間に適用すれば、n≥Nn\ge N に対して

sup⁡z∈[0,1]∣fn(z)−f(z)∣<ε.\sup_{z\in[0,1]}|f_n(z)-f(z)|<\varepsilon.

よって fnf_n は ff に一様収束する。

Reference​

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