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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2017年8月実施 基礎科目 [3]

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

広義積分

∫−∞∞cos⁡(πx)1+x2+x4 dx\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(\pi x)}{1+x^2+x^4}\,dx

を求めよ。

题目描述​

求反常积分

∫−∞∞cos⁡(πx)1+x2+x4 dx.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(\pi x)}{1+x^2+x^4}\,dx.

Kai​

実軸上の被積分関数は絶対可積分である。複素関数

F(z)=eiπzz4+z2+1F(z)=\frac{e^{i\pi z}}{z^4+z^2+1}

を考える。分母は (z2−z+1)(z2+z+1)(z^2-z+1)(z^2+z+1) と因数分解され、上半平面の極は

α=1+i32,β=−1+i32\alpha=\frac{1+i\sqrt3}{2}, \qquad \beta=\frac{-1+i\sqrt3}{2}

の二つの単純極である。E=e−3π/2E=e^{-\sqrt3\pi/2} と置けば、

Res⁡(F;α)=iE−3+i3,Res⁡(F;β)=−iE3+i3.\begin{aligned} \operatorname{Res}(F;\alpha) &=\frac{iE}{-3+i\sqrt3},\\ \operatorname{Res}(F;\beta) &=\frac{-iE}{3+i\sqrt3}. \end{aligned}

したがって

Res⁡(F;α)+Res⁡(F;β)=−iE2.\operatorname{Res}(F;\alpha)+\operatorname{Res}(F;\beta) =-\frac{iE}{2}.

上半平面の半円弧 ΓR\Gamma_R 上では ∣eiπz∣≤1|e^{i\pi z}|\le1 であるから、十分大きな RR に対して

∣∫ΓRF(z) dz∣≤πRR4−R2−1⟶0.\left|\int_{\Gamma_R}F(z)\,dz\right| \le\frac{\pi R}{R^4-R^2-1}\longrightarrow0.

留数定理を適用すると

∫−∞∞F(x) dx=2πi(−iE2)=πE.\int_{-\infty}^{\infty}F(x)\,dx =2\pi i\left(-\frac{iE}{2}\right)=\pi E.

実部を取ることにより、

∫−∞∞cos⁡(πx)1+x2+x4 dx=πe−3π/2.\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(\pi x)}{1+x^2+x^4}\,dx =\pi e^{-\sqrt3\pi/2}}.

Reference​

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