京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2017年8月実施基礎科目 [2]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$a,b$ を実数とする。実行列

A= \begin{pmatrix} 1&1&a&b\\ 0&1&2&0\\ 2&0&1&4 \end{pmatrix}

について、以下の問に答えよ。

(1) 行列 $A$ の階数を求めよ。

(2) 連立一次方程式

A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

が解を持つような実数 $a,b$ をすべて求めよ。

设 $a,b\in\mathbb R$ ，给定矩阵

A= \begin{pmatrix} 1&1&a&b\\ 0&1&2&0\\ 2&0&1&4 \end{pmatrix}.

(1) 求 $A$ 的秩。

(2) 求使方程组 $A(x_1,x_2,x_3,x_4)^{\mathsf T}=(1,1,1)^{\mathsf T}$ 有解的全部参数 $(a,b)$ 。

$R_3\leftarrow R_3-2R_1+2R_2$ という行基本変形によって、

A\sim \begin{pmatrix} 1&1&a&b\\ 0&1&2&0\\ 0&0&5-2a&4-2b \end{pmatrix}.

上の二行は常に一次独立なので、

\boxed{ \operatorname{rank}A= \begin{cases} 2,&(a,b)=(5/2,2),\\ 3,&(a,b)\ne(5/2,2). \end{cases} }

同じ変形を拡大係数行列に施すと、

\left( \begin{array}{cccc|c} 1&1&a&b&1\\ 0&1&2&0&1\\ 0&0&5-2a&4-2b&1 \end{array} \right)

を得る。 $(a,b)=(5/2,2)$ なら最終行は $0=1$ となるため、解は存在しない。それ以外なら最終行を満たす $x_3,x_4$ を選べ、次に第二行、第一行から $x_2,x_1$ を順に定められる。したがって求める条件は

\boxed{(a,b)\in\mathbb R^2\setminus\{(5/2,2)\}}.