京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2017年8月実施基礎科目 [1]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

広義積分

\iiint_V\frac{1}{(1+x^2+y^2)z^{3/2}}\,dx\,dy\,dz

を計算せよ。ただし

V=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2\le z\}

とする。

计算反常三重积分

\iiint_V\frac{dx\,dy\,dz}{(1+x^2+y^2)z^{3/2}}, \qquad V=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2\le z\}.

被積分関数は非負なので、積分順序の交換には Tonelli の定理を用いることができる。円柱座標 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ により、

\begin{aligned} \iiint_V\frac{dx\,dy\,dz}{(1+x^2+y^2)z^{3/2}} &=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty \frac{r}{1+r^2}\left(\int_{r^2}^\infty z^{-3/2}\,dz\right)\,dr\,d\theta\\ &=2\pi\int_0^\infty\frac{r}{1+r^2}\frac{2}{r}\,dr\\ &=4\pi\left[\arctan r\right]_0^\infty\\ &=\boxed{2\pi^2}. \end{aligned}

内側の積分の計算は $r>0$ で行った。 $r=0$ は零測度の集合であり、最後の積分が有限なので、もとの広義積分の収束も従う。