京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2017年度専門科目問題8

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$C^\infty$ 級関数 $u:\mathbb R\times[0,\infty)\to\mathbb R$ が

u_t(x,t)+u_{xxxx}(x,t)=t\sin x,\qquad u(x+2\pi,t)=u(x,t)

を満たすとする。 $t\to\infty$ のとき $u(x,t)/t$ が $\mathbb R$ 上である関数 $g(x)$ に一様収束することを示し、 $g$ を求めよ。

光滑函数 $u:\mathbb R\times[0,\infty)\to\mathbb R$ 满足 $u_t+u_{xxxx}=t\sin x$ ，且对 $x$ 为 $2\pi$ 周期函数。证明 $t\to\infty$ 时 $u(x,t)/t$ 在整个实轴上一致收敛，并求极限函数。

$p(x,t)=(t-1)\sin x$ とおけば $p_t+p_{xxxx}=t\sin x$ である。したがって $v=u-p$ は $v_t+v_{xxxx}=0$ を満たす。

$v(x,0)$ の Fourier 係数を $c_k$ とする。初期値は滑らかな周期関数なので、2回の部分積分により $c_k=O(|k|^{-2})$ 、したがって $\sum_{k\in\mathbb Z}|c_k|<\infty$ である。方程式を Fourier 変換すると各係数は

\frac{d}{dt}\widehat v_k(t)=-k^4\widehat v_k(t),\qquad \widehat v_k(t)=c_ke^{-k^4t}

を満たす。よって

v(x,t)=\sum_{k\in\mathbb Z}c_ke^{-k^4t}e^{ikx},\qquad \sup_{x\in\mathbb R,\ t\ge0}|v(x,t)|\le\sum_{k\in\mathbb Z}|c_k|.

ゆえに $t>0$ について

\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{u(x,t)}t-\sin x\right| \le\frac{1+\sum_k|c_k|}{t}\longrightarrow0.

したがって $\boxed{g(x)=\sin x}$ である。