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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2016年8月実施 専門科目 問題8

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

C∞C^\infty 級関数 u:R×[0,∞)→Ru:\mathbb R\times[0,\infty)\to\mathbb R は偏微分方程式

∂u∂t(x,t)+∂4u∂x4(x,t)=tsin⁡x,(x,t)∈R×[0,∞)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+\frac{\partial^4u}{\partial x^4}(x,t)=t\sin x, \quad (x,t)\in\mathbb R\times[0,\infty)

および周期境界条件

u(x+2π,t)=u(x,t),(x,t)∈R×[0,∞)u(x+2\pi,t)=u(x,t),\quad (x,t)\in\mathbb R\times[0,\infty)

を満たすとする。このとき，t→∞t\to\infty で u(x,t)/tu(x,t)/t はある関数 g(x)g(x) に R\mathbb R 上で一様収束することを示し，その関数 g(x)g(x) を求めよ。

题目描述​

假设 C∞C^\infty 函数 u:R×[0,∞)→Ru:\mathbb R\times[0,\infty)\to\mathbb R 满足偏微分方程

∂u∂t(x,t)+∂4u∂x4(x,t)=tsin⁡x,(x,t)∈R×[0,∞)\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+\frac{\partial^4u}{\partial x^4}(x,t)=t\sin x, \quad (x,t)\in\mathbb R\times[0,\infty)

及周期边界条件

u(x+2π,t)=u(x,t),(x,t)∈R×[0,∞).u(x+2\pi,t)=u(x,t),\quad (x,t)\in\mathbb R\times[0,\infty).

证明当 t→∞t\to\infty 时，u(x,t)/tu(x,t)/t 在 R\mathbb R 上一致收敛于某函数 g(x)g(x)，并求该函数。

Kai​

p(x,t)=(t−1)sin⁡xp(x,t)=(t-1)\sin x とおけば pt+pxxxx=tsin⁡xp_t+p_{xxxx}=t\sin x である。したがって v=u−pv=u-p は vt+vxxxx=0v_t+v_{xxxx}=0 を満たす。

v(x,0)v(x,0) の Fourier 係数を ckc_k とする。初期値は滑らかな周期関数なので、2回の部分積分により ck=O(∣k∣−2)c_k=O(|k|^{-2})、したがって ∑k∈Z∣ck∣<∞\sum_{k\in\mathbb Z}|c_k|<\infty である。方程式を Fourier 変換すると各係数は

ddtv^k(t)=−k4v^k(t),v^k(t)=cke−k4t\frac{d}{dt}\widehat v_k(t)=-k^4\widehat v_k(t),\qquad \widehat v_k(t)=c_ke^{-k^4t}

を満たす。よって

v(x,t)=∑k∈Zcke−k4teikx,sup⁡x∈R, t≥0∣v(x,t)∣≤∑k∈Z∣ck∣.\begin{gathered} v(x,t)=\sum_{k\in\mathbb Z}c_ke^{-k^4t}e^{ikx},\\ \sup_{x\in\mathbb R,\ t\ge0}|v(x,t)|\le\sum_{k\in\mathbb Z}|c_k|. \end{gathered}

ゆえに t>0t>0 について

sup⁡x∈R∣u(x,t)t−sin⁡x∣≤1+∑k∣ck∣t⟶0.\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{u(x,t)}t-\sin x\right| \le\frac{1+\sum_k|c_k|}{t}\longrightarrow0.

したがって g(x)=sin⁡x\boxed{g(x)=\sin x} である。

Reference​

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