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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2016年8月実施 専門科目 問題7

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

L2(R)L^2(\mathbb R) を R\mathbb R 上2乗可積分な関数全体のなすHilbert空間とするとき，以下の問に答えよ。

(i) g∈L2(R)g\in L^2(\mathbb R) とし，z∈Cz\in\mathbb C に対して

F(z)=∫−∞∞e−x2+zxg(x) dxF(z)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2+zx}g(x)\,dx

と定める。このとき，F(z)F(z) は C\mathbb C 上正則であることを示せ。

(ii) 正の整数 nn に対して，R\mathbb R 上の関数 fn(x)f_n(x) を fn(x)=e−x2+x/nf_n(x)=e^{-x^2+x/n} と定める。このとき，{fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^\infty の線型結合全体は L2(R)L^2(\mathbb R) で稠密であることを示せ。

题目描述​

令 L2(R)L^2(\mathbb R) 为 R\mathbb R 上全体平方可积函数构成的Hilbert空间，回答下列问题。

(i) 对 g∈L2(R)g\in L^2(\mathbb R) 和 z∈Cz\in\mathbb C，定义

F(z)=∫−∞∞e−x2+zxg(x) dx.F(z)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2+zx}g(x)\,dx.

证明 F(z)F(z) 在 C\mathbb C 上全纯。

(ii) 对正整数 nn，定义 R\mathbb R 上的函数 fn(x)=e−x2+x/nf_n(x)=e^{-x^2+x/n}。证明 {fn}n=1∞\{f_n\}_{n=1}^\infty 的全体线性组合在 L2(R)L^2(\mathbb R) 中稠密。

Kai​

(i)​

任意の R>0R>0 と整数 k≥0k\ge0 に対して、Cauchy–Schwarz の不等式より

∫R∣x∣ke−x2+R∣x∣∣g(x)∣ dx≤∥g∥2(∫R∣x∣2ke−2x2+2R∣x∣ dx)1/2<∞.\begin{aligned} &\int_{\mathbb R}|x|^ke^{-x^2+R|x|}|g(x)|\,dx\\ &\quad\le\|g\|_2\left(\int_{\mathbb R}|x|^{2k}e^{-2x^2+2R|x|}\,dx\right)^{1/2}\\ &\quad<\infty. \end{aligned}

これは ∣z∣≤R|z|\le R における被積分関数とその zz 微分の可積分な共通優関数を与える。したがって積分の下で微分でき、

F′(z)=∫Rxe−x2+zxg(x) dx.F'(z)=\int_{\mathbb R}xe^{-x^2+zx}g(x)\,dx.

RR は任意だから FF は整関数である。

(ii)​

h∈L2(R)h\in L^2(\mathbb R) がすべての fnf_n と直交するとする。(i) の gg に h‾\overline h を用いると、整関数 FF は F(1/n)=0F(1/n)=0 を満たす。零点列 1/n1/n は C\mathbb C 内の 00 に集積するので、恒等定理から F≡0F\equiv0。

q(x)=e−x2h(x)‾q(x)=e^{-x^2}\overline{h(x)} は Cauchy–Schwarz の不等式より L1(R)L^1(\mathbb R) に属し、任意の ξ∈R\xi\in\mathbb R について

q^(ξ)=∫Rq(x)e−iξx dx=F(−iξ)=0.\widehat q(\xi)=\int_{\mathbb R}q(x)e^{-i\xi x}\,dx=F(-i\xi)=0.

L1L^1 関数の Fourier 変換の一意性から q=0q=0、したがって h=0h=0 がほとんど至る所で成り立つ。直交補空間が {0}\{0\} なので、求める稠密性が従う。

Reference​

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