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京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2017年度 専門科目 問題6

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

測度空間 (X,F,μ)(X,\mathcal F,\mu) 上の非負実数値可積分関数の集合 C\mathcal C が次を満たすとする。

  • C≠∅\mathcal C\ne\varnothing。
  • f,g∈Cf,g\in\mathcal C ならば max⁡{f,g}∈C\max\{f,g\}\in\mathcal C。
  • M=sup⁡{∫Xf dμ:f∈C}<∞M=\sup\{\int_X f\,d\mu:f\in\mathcal C\}<\infty。

(i) 非負実数値可積分関数 φ\varphi で、各 f∈Cf\in\mathcal C に対して f≤φf\le\varphi が μ\mu-ほとんど至る所で成り立ち、∫Xφ dμ=M\int_X\varphi\,d\mu=M となるものが存在することを示せ。

(ii) この φ\varphi について、μ(A)>0\mu(A)>0 なる任意の A∈FA\in\mathcal F に対し

sup⁡f∈Cess sup⁡Af=ess sup⁡Aφ\sup_{f\in\mathcal C}\operatorname*{ess\,sup}_{A}f =\operatorname*{ess\,sup}_{A}\varphi

を示せ。ここで ess sup⁡Ag=inf⁡{α∈R:μ({x∈A:g(x)>α})=0}\operatorname*{ess\,sup}_A g=\inf\{\alpha\in\mathbb R:\mu(\{x\in A:g(x)>\alpha\})=0\}、inf⁡∅=∞\inf\varnothing=\infty とする。

题目描述​

在测度空间 (X,F,μ)(X,\mathcal F,\mu) 上，非空非负实值可积函数族 C\mathcal C 对逐点取最大值封闭，且 M=sup⁡f∈C∫Xf dμ<∞M=\sup_{f\in\mathcal C}\int_X f\,d\mu<\infty。

(i) 证明存在非负实值可积函数 φ\varphi，使每个 f∈Cf\in\mathcal C 都满足 f≤φf\le\varphi 几乎处处，且 ∫Xφ dμ=M\int_X\varphi\,d\mu=M。

(ii) 对任意正测度可测集 AA，证明 sup⁡f∈Cess sup⁡Af=ess sup⁡Aφ\sup_{f\in\mathcal C}\operatorname*{ess\,sup}_A f=\operatorname*{ess\,sup}_A\varphi。本质上确界定义为 inf⁡{α∈R:μ({x∈A:g(x)>α})=0}\inf\{\alpha\in\mathbb R:\mu(\{x\in A:g(x)>\alpha\})=0\}，空集的下确界取 ∞\infty。

Kai​

(i)​

fn∈Cf_n\in\mathcal C を ∫Xfn dμ>M−1/n\int_Xf_n\,d\mu>M-1/n となるように選び、gn=max⁡(f1,…,fn)g_n=\max(f_1,\ldots,f_n) とおく。仮定より gn∈Cg_n\in\mathcal C、gn↑ψ:=sup⁡ngng_n\uparrow\psi:=\sup_n g_n であり、単調収束定理から

∫Xψ dμ=lim⁡n→∞∫Xgn dμ=M.\int_X\psi\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_Xg_n\,d\mu=M.

したがって ψ<∞\psi<\infty はほとんど至る所で成り立つ。{ψ=∞}\{\psi=\infty\} 上で値を 00 に置き換えた関数を φ\varphi とする。

任意の f∈Cf\in\mathcal C について max⁡(gn,f)∈C\max(g_n,f)\in\mathcal C だから、再び単調収束定理により

∫Xmax⁡(φ,f) dμ≤M=∫Xφ dμ.\int_X\max(\varphi,f)\,d\mu\le M=\int_X\varphi\,d\mu.

よって ∫X(f−φ)+ dμ=0\int_X(f-\varphi)_+\,d\mu=0、すなわち f≤φf\le\varphi がほとんど至る所で成り立つ。

(ii)​

L=sup⁡f∈Cess sup⁡AfL=\sup_{f\in\mathcal C}\operatorname*{ess\,sup}_A f とおく。(i) より L≤ess sup⁡AφL\le\operatorname*{ess\,sup}_A\varphi。 L=∞L=\infty なら等号は明らかである。L<∞L<\infty なら、各 nn について gn≤Lg_n\le L が AA 上ほとんど至る所で成り立つ。可算個の零集合を除けばすべての nn で同時に成立するので、φ=sup⁡ngn≤L\varphi=\sup_n g_n\le L もほとんど至る所で成り立つ。したがって逆向きの不等式も得られる。

なお、(i) の条件を満たす別の関数も、すべての gng_n を支配し積分が MM に等しいため φ\varphi とほとんど至る所で一致する。

Reference​

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