京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2016年8月実施基礎科目 [7]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$n$ を正の整数とし、 $\mathbb R^n$ の二点 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 、 $y=(y_1,\ldots,y_n)$ の距離を

d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}

と定める。 $\mathbb R^n$ の空でない部分集合 $A$ に対し、関数 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ を

f(x)=\inf_{z\in A}d(x,z)

で定めるとき、 $\mathbb R^n$ の任意の二点 $x,y$ に対して $|f(x)-f(y)|\le d(x,y)$ が成り立つことを示せ。

在 $\mathbb R^n$ 中取欧氏距离

d(x,y)=\sqrt{\sum_{j=1}^n(x_j-y_j)^2}.

对任意非空集合 $A\subset\mathbb R^n$ ，定义 $f(x)=\inf_{z\in A}d(x,z)$ 。证明任意 $x,y\in\mathbb R^n$ 都满足

|f(x)-f(y)|\le d(x,y).

$A\ne\varnothing$ より $z_0\in A$ を一つ取れる。 $0\le f(x)\le d(x,z_0)<\infty$ なので、 $f$ は有限の実数値を取る。

任意の $z\in A$ に対して、三角不等式から

f(x)\le d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).

右辺について $z\in A$ の下限を取ると、

f(x)\le d(x,y)+f(y).

$x,y$ を入れ換えれば $f(y)\le d(x,y)+f(x)$ も得られる。以上より

-d(x,y)\le f(x)-f(y)\le d(x,y),

すなわち $\boxed{|f(x)-f(y)|\le d(x,y)}$ である。