京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2016年8月実施基礎科目 [6]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$X,Y$ を位相空間とし、直積集合 $X\times Y$ を積位相によって位相空間とみなす。写像 $f:X\times Y\to Y$ を $f(x,y)=y$ で定める。

$X$ がコンパクトならば、 $X\times Y$ の任意の閉集合 $Z$ に対し、 $f(Z)$ は $Y$ の閉集合であることを示せ。

设 $X,Y$ 为拓扑空间， $X\times Y$ 取积拓扑，定义投影 $f:X\times Y\to Y$ ， $f(x,y)=y$ 。

证明：若 $X$ 紧致，则对任意闭集 $Z\subset X\times Y$ ，像 $f(Z)$ 都是 $Y$ 中的闭集。

$X=\varnothing$ なら $f(Z)=\varnothing$ であり、主張は明らかである。以下 $X\ne\varnothing$ とする。

$y_0\in Y\setminus f(Z)$ を取ると、すべての $x\in X$ に対して $(x,y_0)\notin Z$ である。 $Z$ は閉集合であるから、積位相の定義により、 $x$ の開近傍 $U_x$ と $y_0$ の開近傍 $V_x$ を

U_x\times V_x\subset (X\times Y)\setminus Z

となるように選べる。 $\{U_x\}_{x\in X}$ は $X$ の開被覆であり、コンパクト性によって有限部分被覆 $U_{x_1},\ldots,U_{x_r}$ が存在する。

V=\bigcap_{j=1}^r V_{x_j}

と置くと、 $V$ は $y_0$ の開近傍である。任意の $(x,y)\in X\times V$ に対し、 $x\in U_{x_j}$ となる $j$ を選べば $(x,y)\in U_{x_j}\times V_{x_j}$ なので、 $(x,y)\notin Z$ である。よって

V\subset Y\setminus f(Z).

したがって $Y\setminus f(Z)$ は開集合、すなわち $f(Z)$ は閉集合である。