京都大学理学研究科数学・数理解析専攻 2016年8月実施基礎科目 [5]

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

$p$ を正の実数とし、 $f(t)$ を $\mathbb R$ 上の実数値連続関数で

\int_0^\infty |f(t)|\,dt<\infty

を満たすものとする。このとき $\mathbb R$ 上の常微分方程式

\frac{dx}{dt}=-px+f(t)

の任意の解 $x(t)$ に対し $\lim_{t\to\infty}x(t)=0$ が成り立つことを示せ。

设 $p>0$ ，连续函数 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 满足

\int_0^\infty |f(t)|\,dt<\infty.

证明微分方程 $x'(t)=-px(t)+f(t)$ 的任意解均满足 $\lim_{t\to\infty}x(t)=0$ 。

積分因子 $e^{pt}$ を用いると、 $t\ge0$ に対して

x(t)=e^{-pt}x(0)+\int_0^t e^{-p(t-s)}f(s)\,ds.

任意の $\varepsilon>0$ に対し、仮定から

\int_T^\infty |f(s)|\,ds<\varepsilon

となる $T>0$ を取れる。 $t\ge T$ のとき

\begin{aligned} |x(t)| &\le e^{-pt}|x(0)| +\int_0^T e^{-p(t-s)}|f(s)|\,ds +\int_T^t e^{-p(t-s)}|f(s)|\,ds\\ &\le e^{-pt}|x(0)| +e^{-p(t-T)}\int_0^T|f(s)|\,ds+\varepsilon. \end{aligned}

$p>0$ より初めの二項は $t\to\infty$ で $0$ に収束する。したがって $\limsup_{t\to\infty}|x(t)|\le\varepsilon$ であり、 $\varepsilon>0$ は任意なので

\boxed{\lim_{t\to\infty}x(t)=0}.